思路来自 百度百科 中的一段话：
设 \(n\) 个数的错排方案数为 \(D_n\)，
第一步，考虑第 \(n\) 个元素，把它放在某一个位置，比如位置 \(k\) ，一共有 \(n-1\) 种放法；
第二步，考虑第 \(k\) 个元素，这时有两种情况：
（1）把它放到位置 \(n\) ，那么对于除 \(n\) 以外的 \(n-1\) 个元素，由于第 \(k\) 个元素放到了位置 \(n\) ，所以剩下 \(n-2\) 个元素的错排即可，有 \(D_{n-2}\) 种放法；
（2）第 \(k\) 个元素不放到位置 \(n\) ，这时对于这 \(n-1\) 个元素的错排，有 \(D_{n-1}\) 种放法。
根据乘法和加法法则，综上得到
\[D_n = (n-1) \times ( D_{n-2} + D_{n-1} )\]
然后我的理解是这样的，我把问题变成了下面的这样一个问题：
假设现在有 \(n\) 对亲兄妹，\(n\) 个哥哥的编号为 \(1 \sim n\), \(n\) 个妹妹的编号为 \(1 ~ n\)，现在你要给这 \(2 \times n\) 个人凑成 \(n\) 对夫妻，要求亲兄妹不能结婚，求方案数？
我们假设 \(n\) 对亲兄妹凑成 \(n\) 对夫妻的方案数为 \(D_n\)，那么我们现在可以考虑：
给我们 \(n\) 对亲兄妹，我现在要给编号为 \(n\) 的哥哥找媳妇，那么编号为 \(1 \sim n-1\) 的妹妹都可以当做编号为 \(n\) 的哥哥地媳妇。
假设我选择了编号为 \(k\) 的妹妹和编号为 \(n\) 的哥哥配对，则现在有编号为 \(k\) 的哥哥和编号为 \(n\) 的妹妹落单了。
这个时候我有 \(2\) 种选择：
选择一：编号为 \(k\) 的哥哥和编号为 \(n\) 的妹妹配对。
这种情况下，其它的 \(n-2\) 对还需要错排，所以这种方式下的错排方案是 \(D_{n-2}\)。
情景：\(n\)哥哥和\(k\)妹妹结婚去了，临走之前\(n\)哥哥做了一个媒，将自己的\(n\)妹妹嫁给了\(k\)哥哥。（凑成了 \(2\) 对，剩下 \(n-2\) 对）
选择二：编号为 \(k\) 的哥哥和编号不为 \(n\) 的妹妹配对。
这种情况下，就是编号为 \(k\) 的哥哥不能和编号为 \(n\) 的妹妹配对，那么这个时候就跟他们是亲兄妹是一样的。
情景：\(n\)哥哥临走之前想要将自己的\(n\)妹妹嫁给\(k\)哥哥，但是被拒绝了，然后\(n\)哥哥说：“既然你不想娶她，那么你就跟她认一个兄妹吧”，然后\(k\)哥哥就变成了\(n\)妹妹的哥哥，然后就又变成了 \(n-1\) 对兄妹的错排问题。
两种选择是互斥的，他们汇总之后就是在选择 \(n\) 哥哥和 \(k\) 妹妹的错排总方案：
\[D_{n-2} + D_{n-1}\]
外加 \(k\) 一共有 \(n-1\) 种选择，根据乘法原理，错排问题的方案数：
\[D_n = (n - 1) \times ( D_{n-2} + D_{n-1} )\]