康拓展开
康托展开就是一种特殊的哈希函数
把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n]n!+a[n-1](n-1)!+…+a[2]*2!+a[1]*1!
其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,…,n
{1,2,3,4,…,n}表示1,2,3,…,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6种，就是123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来，即进行离散化。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有22!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有11!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有22!+11!=5个
。所以321是第6个大的数。 22!+11!是321的康托展开，但需要加1才是它的排序号。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 03! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 12! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以
有0个数 01! ，所以比1324小的排列有03!+12!+01!=2个，1324是第三个大数。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
/*
康拓展开,该程序默认是数字的康拓展开
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!
a[n]表示当前未出现的数字集合中第几小的数字
*/
int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //fac[i]表示i的阶乘
int cantor(string s)
{
int sum=0,t; //t表示s[i]是第几小的数字
int len=s.length(); //len表示为康拓展开的长度
for(int i=0;i<len;i++)
{
t=0; //记得每次都要初始化
for(int j=i+1;j<len;j++)
if(s[i]-s[j]>0) //后面的数即未出现的数字
t++;
sum+=t*fac[len-i-1]; //加a[n]*[n-1]!
}
return sum; //康拓展开的序号
}
int main()
{
int result;
string s;
while(getline(cin,s))
{
result=cantor(s);
cout<<"这是第"<<result+1<<"个数"<<endl;
}
return 0;
}
逆康拓展开
(1)找出第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
(2)找出第16个数
首先用16-1得到15
用15去除4!得到0余15
用15去除3!得到2余3
用3去除2!得到1余1
用1去除1!得到1余0
有0个数比它小的数是1
有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）
有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）
有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）
最后一个数只能是2
所以这个数是14352
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //fac[i]表示i的阶乘
void invCantor(int n,int len) //n为康拓展开的结果，len为序列长度
{
int t;
bool vis[205]; //是否出现过的状态数组
for(int i=0;i<len;i++) //输出完序列
{
t=n/fac[len-i-1]; //未出现的数中第t小的数
n=n%fac[len-i-1]; //更新康拓展开号n
for(int j=1;j<=len;j++) //在1~len的序列中寻找第t小的数
{
if(!vis[j]) //未出现的数
{
if(t==0) //找到第t小的数
{
vis[j]=true; //此数已经出现过
cout<<j;
break;
}
else t--;
}
}
}
cout<<endl;
}
int main()
{
int n,len; //n为序列号,len为序列长度
while(cin>>n>>len)
{
invCantor(n-1,len); //将序列号减一就成了康拓展开的结果
}
return 0;
}