康托展开
对于全排列而言，每一种状态都是独一确定的，如果我们给每一种状态按字典序从小到大的顺序编号，就得到了康托展开。下面举个例子。
| 状态 | 123456789 | 123456798 | ... | 987654321 |
|---|---|---|---|---|
| 康托展开 | 0 | 2 | ... | 362880-1\((9!-1)\) |
每种状态都对应一种编号，这就是康托展开。那么如何从状态得到它所对应的康托展开呢？
比如说\([2,1,4,3]\)
- 首位数字小于2的所有排列：\(1*3!\)，这些排列肯定都在2143的前面
- 首位数字为2的，且第二位小于1的所有排列：\(0*2!\)
- 前两位数字为21，且第三位小于4的所有排列：\(1*1!\)，毕竟这样第三位能选的只有3了，1和2都已经定下来了
- 前三位数字为214，且第四位小于3的全排列：\(0*0!\)，其实这个不去算也可以，前三位确定了，第四位也随之确定了
这四种情况的编号都在\([2,1,4,3]\)的前面，将其加起来就得到了\([2,1,4,3]\)的编号：7。但如果从1开始计数的话，\([2,1,4,3]\)的编号就应该是7+1了。这里是从0开始计数的情况。
得出康托展开的公式为：
\[X=a_n(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+...+a_10! \]
代码如下
void cantor()
{
//假设是1~9，共9个数字求全排列
int res=0;
int length=9;
int fact[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//[i]代表了i!
int state[length]={1,2,3,4,5,6,7,9,8};//所求康托展开的状态
for (int i=0;i<length;i++){
int temp=0;
for (int j=i+1;j<length;j++){
if (state[i]>state[j])
temp++;
}
res+=temp*const_number[length-i-1];
}//res即为所求康托展开
}
逆康托展开
除了已知的康托展开数之外，还需要全排列的数字个数，否则会有无穷个解。
还是以\([2,1,4,3]\)为例。康托展开数为8，也就是处在a[7]的位置。4个数字共有24种全排列。
- 7%3!，商1余1，说明比首位小的数有一个，所以首位为2。
- 1%2!，商0余1，说明在第二位之后，比第二位小的数一共有0个，所以第二位为1。
- 1%1!，商1余0，说明在第三位之后，比第三位小的数一共有1个，所以第三位为4。
- 0%0!，商0余0，说明在第四位之后，比第四位小的数一共有0个，所以第四位为3。其实也只剩3了。
由7就可以逆推回去了，下面是代码
void decantor(int res,int length)//res为康托展开得到的数，length为全排列的数字个数
{
vector<int> v;
vector<int> result;
for (int i=1;i<=length;i++) v.push_back(i);//先把有序的数放进去，因为vector容易删除，所以利用这一点
for (int i=length-1;i>=0;i--){
int temp=res/(fact[i]);
res=res%fact[i];
result.push_back(v[temp]);
v.erase(v.begin()+temp);
}//此时result中存放的就是所求的排列组合
}