多米诺骨牌问题 概率DP

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题目描述

准备一个m行n列的二维多米诺骨牌进行游戏。

游戏的目标是让二维的多米诺骨牌全部倒下。一个多米诺骨牌倒下的时候，有P的概率往下一列倒，有Q的概率往下一行倒，并触碰该方向上与其相邻的骨牌。

当一个倒下完成的时候，需要从第1行的第1列开始检查，然后检查第1行的第2列，… ，第m行的第1列，第m行的第2列…当检查到有一块骨牌没有倒下，就需要触碰当前骨牌。

问总共触碰骨牌的期望值。

输入

第一行包括两个正整数m和n，表示当前二维多米诺的长和宽。
接下来m行，每行n个数字表示第[i][j]个多米诺骨牌往下倒的概率。
接下来m行，每行n个数字表示第[i][j]个多米诺骨牌往右倒的概率。

输出

触碰的期望

分析

以dp[i][j]表示i行j列的多米诺骨牌被手动触碰的概率。

第一行第一列个多米诺骨牌是一定要触碰的，其被触碰的概率为1。

第i行第j列个多米诺骨牌被手动触碰的情况为：
- 上面一行的多米诺不往下倒，即 1 - down[i-1][j]
- 左边一行的多米诺不往右倒，即 1 - right[i][j-1]

由上可得：

dp[i][j] = (1 - down[i-1][j]) * (1 - right[i][j-1])

最后的结果就是二维dp的和。

需要理解多米诺往右倒和往下倒两种情况，一般来讲，多米诺可以往右边倒，可以往下倒，也可以不倒，这是三个独立事件。

#include <cstdio>
#include <string.h>
double down[505][505];
double right[505][505];

int main()
{

    memset(down, 0, sizeof(down));
    memset(right, 0, sizeof(right));

    int m, n;
    scanf("%d %d", &m, &n);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%lf", &down[i][j]);

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%lf", &right[i][j]);

    double ans = 1.0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            ans += (1.0 - right[i][j - 1]) * (1.0 - down[i - 1][j]);
        }
    }
    printf("%lf", ans);

}