【杂题】【树形DP】【NTT】[未知来源] 树 【无实现】

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Description

给定一棵有n个节点的树，每个点有一个点权a[i]，每条边有一个出现的概率p(u,v)，那么随机出现若干个联通块，给定一个整数k，对于每个联通块的特征值记为$(\sum a[i])^k$，对于整棵树的特征值我们记为联通块的特征值的和，求整棵树的特征值的期望。
答案对998244353取模
1<=n,k<=1000

Solution

首先这种求和的次幂一般我们考虑组合意义

相当于求选随便选K个点，可以重复选，这些点权值之积乘上它们在同一个联通块的总答案和。
这就可以树形DP了

可以设$F[i][j]$表示以i为根的子树中，联通块包含i，选了j个点的答案。
枚举i的儿子u,显然转移$F'[i][j]=\left(1- p(i,u)\right)F[i][j]+p(i,u)\sum\limits_{k=0}^{j}F[i][j-k]*F[u][k]*\large{j\choose k}$

组合数拆开，就可以用NTT转移了。
复杂度$O(nk\log n)$