【杂题】【数论】[JZOJ5134] 三元组（无实现）

Description

求

\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} [(i, j) = 1 a n d (j, k) = 1 a n d (i, k) = 1]

$\sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{B}\sum\limits_{k=1}^{C}[(i,j)=1\ and\ (j,k)=1\ and \ (i,k)=1]$
A,B,C<=50000

Solution

考虑枚举一个,设函数

f (i) = \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} [(i, j) = 1] [(j, k) = 1] [(i, k) = 1]

$f(i)=\sum\limits_{j=1}^{B}\sum\limits_{k=1}^{C}[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]$
把(j,k)=1的限制用莫比乌斯反演消掉

= \sum_{d = 1}^{m i n (B, C)} μ (d) \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{B}{d} ⌋} \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{C}{d} ⌋} [(i, j d) = 1] [(i, k d = 1)]

$=\sum\limits_{d=1}^{min(B,C)}\mu(d)\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{B\over d}\rfloor}\sum\limits_{k=1}^{\lfloor{C\over d}\rfloor}[(i,jd)=1][(i,kd=1)]$

= \sum_{d = 1}^{m i n (B, C)} μ (d) [(i, d) = 1] \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{B}{d} ⌋} \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{C}{d} ⌋} [(i, j) = 1] [(i, k = 1)]

$=\sum\limits_{d=1}^{min(B,C)}\mu(d)[(i,d)=1]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{B\over d}\rfloor}\sum\limits_{k=1}^{\lfloor{C\over d}\rfloor}[(i,j)=1][(i,k=1)]$
发现后面两个求和互不干扰，只和d,i有关，那么我们可以分开来算，最后再乘积

= \sum_{d = 1}^{m i n (B, C)} μ (d) [(i, d) = 1] (\sum_{j = 1}^{⌊ \frac{B}{d} ⌋} [(i, j) = 1]) (\sum_{k = 1}^{⌊ \frac{C}{d} ⌋} [(i, k = 1)])

$=\sum\limits_{d=1}^{min(B,C)}\mu(d)[(i,d)=1]\left(\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{B\over d}\rfloor}[(i,j)=1]\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{\lfloor{C\over d}\rfloor}[(i,k=1)]\right)$

那么对d分块后，问题转化成快速求两个函数

G (i, n) = \sum_{j = 1}^{n} [(i, j) = 1]

$G(i,n)=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i,j)=1]$

H (i, n) = \sum_{j = 1}^{n} [(i, j) = 1] μ (j)

$H(i,n)=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i,j)=1]\mu(j)$

考虑G
我们发现最大公因数只与质因子种类有关，因此我们不妨直接假定 $\mu^2(i)=1$ （即每个质因子指数都为1），如果存在大于1的质因子它的函数值是和=1的情况相同的，直接记一下就好了。

那我们随便找到i的一个质因子p
大力推式子

G (i, n) = \sum_{j = 1}^{n} [(i, j) = 1]

$G(i,n)=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i,j)=1]$

= \sum_{j = 1}^{n} [(p, j) = 1] [(i / p, j) = 1]

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(p,j)=1][(i/p,j)=1]$

= \sum_{j = 1}^{n} (1 - [p | j]) [(i / p, j) = 1]

$=\sum\limits_{j=1}^{n}(1-[p|j])[(i/p,j)=1]$

= \sum_{j = 1}^{n} [(i / p, j) = 1] - \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} [(i / p, p j) = 1]

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i/p,j)=1]-\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{n\over p}\rfloor}[(i/p,pj)=1]$
又因为

μ^{2} (i) = 1

$\mu^2(i)=1$ ，因此

(i / p, p)

$(i/p,p)$ 恒为1，那么

= \sum_{j = 1}^{n} [(i / p, j) = 1] - \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} [(i / p, j) = 1]

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i/p,j)=1]-\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{n\over p}\rfloor}[(i/p,j)=1]$

= G (i / p, n) - G (i / p, ⌊ \frac{n}{p} ⌋)

$=G(i/p,n)-G(i/p,{\lfloor{n\over p}\rfloor})$

H是类似的

H (i, n) = \sum_{j = 1}^{n} [(i, j) = 1] μ (j)

$H(i,n)=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i,j)=1]\mu(j)$

= \sum_{j = 1}^{n} [(p, j) = 1] [(i / p, j) = 1] μ (j)

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(p,j)=1][(i/p,j)=1]\mu(j)$

= \sum_{j = 1}^{n} (1 - [p | j]) [(i / p, j) = 1] μ (j)

$=\sum\limits_{j=1}^{n}(1-[p|j])[(i/p,j)=1]\mu(j)$

= \sum_{j = 1}^{n} [(i / p, j) = 1] μ (j) - \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} [(i / p, p j) = 1] μ (p j)

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i/p,j)=1]\mu(j)-\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{n\over p}\rfloor}[(i/p,pj)=1]\mu(pj)$
我们知道p与j不互质时

μ (p j) = 0

$\mu(pj)=0$
那么

= \sum_{j = 1}^{n} [(i / p, j) = 1] μ (j) - \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} [(i / p, j) = 1] [(p, j) = 1] μ (p) μ (j)

$=\sum\limits_{j=1}^{n}[(i/p,j)=1]\mu(j)-\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{n\over p}\rfloor}[(i/p,j)=1][(p,j)=1]\mu(p)\mu(j)$

= H (i / p, n) - μ (p) H (i, ⌊ \frac{n}{p} ⌋)

$=H(i/p,n)-\mu(p)H(i,{\lfloor{n\over p}\rfloor})$

= H (i / p, n) + H (i, ⌊ \frac{n}{p} ⌋)

$=H(i/p,n)+H(i,{\lfloor{n\over p}\rfloor})$

第二维实际上只用记对B，C分块后的剩下的根号个位置即可。
注意采用寻址优化（枚举顺序，数组顺序）

Code

~~因为博主比较懒，没有去写。。~~