树形DP—树的直径

树的直径
通俗的讲就是求树上的最长链的长度
一般有两种求法，各有优势

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DP法

用$dp[u]$表示从结点u出发能走到的最远距离
设$v_i$为u的子节点
那么有$dp[u]=max(dp[v_i]+dis(u,v))$
对于经过结点u的最长链长度$mxlen[u]$
有$mxlen[u]=max(dp[v_i]+dp[v_j]+dis(v_i,u)+dis(u,v_j))$
那么整个树的最长链就是$max(mxlen[u_i])1<=u<=n$

整个算法只需一次dfs，时间复杂度$O(n)$

void DP(int u,int pa)
{
    dp[u]=0;
    for(int i=head[u];i;i=E[i].nxt)
    {
        int v=E[i].v;
        if(v==pa) continue;
        DP(v,u);
        mxlen=max(mxlen,dp[u]+dp[v]+E[i].dis);
        dp[u]=max(dp[u],dp[v]+E[i].dis);
    }
}

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DFS || BFS 法

算法总共两次dfs或bfs

第一步
从任意节点出发，通过dfs或bfs遍历找到与出发点最远的结点，记为p

第二步
从p出发，通过dfs或bfs遍历找到离p最远的结点，记为q

此时p到q的路径就是树的直径

该算法整体复杂度为$O(n*2)$
但是可以同时得知直径的具体结点，以便于其他操作

void dfs(int u,int pa)
{
    //dp[u]记录从u出发能到达的最远距离，rem[u]记录离u最远的结点
    rem[u]=u; dp[u]=0;
    for(int i=head[u];i;i=E[i].nxt)
    {
        int v=E[i].v;
        if(v==pa) continue;
        dfs(v,u);
        if(dp[u]<=dp[v]+E[i].dis)
        dp[u]=dp[v]+E[i].dis,rem[u]=rem[v];
    }
}

dfs1(1,0); p=rem[1];
dfs1(p,0); q=rem[p];

需要特别注意的是

当树中有负边权时不能使用该方法