泰克展开公式：

一听这么名字就感觉有点肝颤，至少我是这样的。泰勒公式主要的作用就是把一个特别复杂的函数化简，近似的求其值，归根结底他的作用就是近似函数来用的，以简单熟悉的多项式去尽量代替复杂的函数公式。

一次逼近：

接下来我们一点一点的引入来了解这个公式：

图中给出了一个函数 $f(x) = cosx$ 这个函数图像，我们来试着先逼近 $f(x) = cosx$ ，在图中有一个褐色的横线就是要表达逼近 $f(x) = cosx$ 函数线的公式，在这里我们先看到有一个微分近似计算公式来代替 $cosx$ 。

首先我们来看一下这个公式： $f(x)\approx f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})$ ，他就是用来近似 $f(x) = cosx$ 的计算公式，这个表达式是微分表达式，在这里不做过多介绍，只需要了解他是通过微分的方式推导出来的公式就可以了。因为近似表达所以用了≈ 符号。

在这里我们想要逼近的是 $x_{0}$ ,他在这个函数中的值是0，我们来直接代入内个微分公式直接就可以得出他的线性逼近，得出一下结果： $f(x)\approx f(0)+{f}'(0)x\approx 1$ 。

二次逼近：

在这个图中介绍了二次逼近，首先列出了一个二次的多项式，用这个多项式来逼近 $f(x)=cosx$

我们分别对其求导，一个x都没有的就用0阶导，一个x并且平方是1的用一阶导，x平方是2的用二阶导，最后通过求导一次计算出a的系数，然后把公式化简就得出了 $f(x) = cosx$ 的二次逼近。

在这两个图中有没有发现这个二次逼近和一次逼近很相似。没错，二次逼近其实就是比一次逼近多了一个 $a_{2}x^{2}$ 项，其实一次逼近里面的 $f(x)$ 就是二次逼近里面内个 a 。在这里我们看出二次逼近有了这个 $a_{2}x^{2}$ 咱们逼近函数能拐弯了，能更好的拟合这个函数。

在一次逼近的时候是这个样子 $f(x)\approx f(0)+{f}'(0)x$ ，二次逼近的时候他长成这样 $p^{_{2}}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ 然后分别求导后化简变成这样： $p^{_{2}}(x)=1-\tfrac{x^{2}}{2}$ ，不过他们推导过程的公式是非常像的 $p^{_{2}}(x)=a_{0}+(a_{1}x){}'+(a_{2}x^{2}){}''$ 。由此我们看出几次逼近就是分别对应项数求几次导，然后化简得出的函数就可以非常的接近我们的原函数，当然对于这个函数导的越多才能越接近：