实对称阵的谱半径是连续函数

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矩阵的诱导范数（算子范数）的定义： $||A|| = \sup_{||x|| = 1}||Ax||$其中，||·||可以是任何向量范数，由于该矩阵范数是由向量范数诱导出来的，所以称其为诱导范数。

比如，由向量的 $l_2$ 范数诱导出来的矩阵范数为： $||A||_2 =\sqrt{\lambda_{max}(A^*A)}$证明见博主的另一篇博文。

诱导范数的齐次性和正定性是显然的，下面证明诱导范数是满足三角不等式的： $||A+B|| \leq ||A||+||B||$

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证明：
$||A+B|| = \sup_{||x|| = 1}||(A+B)x|| = ||(A+B)x^*||$则 $||A|| = \sup_{||x|| = 1}||Ax|| \geq ||Ax^*||\\||B|| = \sup_{||x|| = 1}||Bx|| \geq ||Bx^*||$故 $||A+B|| \leq ||A||+||B||$

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我们来证明矩阵 A 的任意诱导范数都不小于其谱半径： $||A||\geq \rho(A), \;\;\;\forall A \in \R^{n\times n}$

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证明：
由诱导范数定义得： $||A|| \geq \frac{||Ax||}{||x||}, \;\;\;\forall x \in \R^n$对谱半径 $\rho(A) = |\lambda^*|$，有 $Ax^* = \lambda^*x^*$，所以 $||A|| \geq \frac{||Ax^*||}{||x^*||} = \frac{||\lambda^*x^*||}{||x^*||} = |\lambda^*| = \rho(A)$

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下面我们来证明实对称阵的谱半径是矩阵元素的连续函数：

当对称矩阵 A 的元素发生微小的变化，即施加一个小扰动 E，则有 $\rho(A+E) \leq ||A+E||_2 \leq ||A||_2 + ||E||_2 = \rho(A) + ||E||_2$所以 $\rho(A+E)-\rho(A) \leq ||E||_2=\sqrt{\lambda_{max}(E^TE)}$由于 E 是微小的扰动，可知 $E^TE$ 的元素是充分小的，进而由圆盘定理可知， $E^TE$ 的所有特征值都是充分小的，可得 $\rho(A)$ 的变化也是充分小的。证明谱半径是矩阵元素的连续函数。