线性代数的本质一+常用Markdown数学公式写法

版权声明：之江学院 黄日超 https://blog.csdn.net/weixin_41474319/article/details/82867769

先修知识

1. 知识点参考链接 : 简书–MathJax
2. 快速掌握常用数学公式的Markdown写法

希腊字母 $\alpha$ $\gamma$

\alpha ; \gamma

上下标 $C_n^2$

C_n^2

矢量 $\vec{a}$ $\overrightarrow{xy}$

\vec{a} \overrightarrow{xy} 

希腊字母 $\alpha$

上下标 $C_n^2$

C_n^2

未知数符号 $\mathsf{A}$

\mathsf{A}

分组 $10^{10}$

10^{10}

分数 $\frac{x}{y}$

\frac{x}{y}

求和 $\sum_{i=1}^n{a_i}$

\sum_{i=1}^n{a_i}

极限 $\lim_{x \to 0}{x^2}$

\lim_{x\to 0}{x^2}

积分 $\int_0^\infty{fxdx}$

\int_0^\infty{fxdx}

开根式 $\sqrt[x]{y}$

\sqrt[x]{y}

特殊函数 $\sin x$ $\ln x$ $\max(A,B,C)$

\sin x$` `$\ln x$` `$\max(A,B,C)

特殊符号

空格 $a\ b$ $a\quad b$

a\ b ; a\quad b

矩阵

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}

横省略号：\cdots
竖省略号：\vdots
斜省略号：\ddots

$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

方程组

$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\ \end{cases}$

\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\
\end{cases}

参考文献引用

感谢谷歌,简书,CSDN的资料

感谢[谷歌][1],[简书][2],[CSDN][3]的资料

[1]:www.google.com
[2]:www.jianshu.com
[3]:www.csdn.cn

什么是向量

1. 物理视角:向量就是空间中的箭头

只有长度与方向

2. 计算机视角:向量是有序的数字列表,根据顺序定义属性或抽象含义

对房屋建模,抽象房屋的属性,如房价和面积,写成这种形式 $\begin{bmatrix} {m^2}\\{\$}\\\end{bmatrix}$
此时在计算机系学生的眼里: $\begin{bmatrix} 129\\27000\\\end{bmatrix}$这个列表代表着一套129平方,27000一平m的房子.

3. 计算机学生视角

此时向量不过是列表的一个花俏说法,只不过因为list.len==2,才称它是二维向量.

4. 数学系学生视角

就是坐标系的变换与运算.

向量通常以原点为起点,实现向量加法+向量数乘.

例一: $\begin{bmatrix} {13}\\{12}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} {11}\\{7}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {24}\\{19}\\\end{bmatrix}$              例二:
$2*\begin{bmatrix} {5}\\{8}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {10}\\{16}\\\end{bmatrix}$

5. 二维向量

每一个二维向量会给出唯一的平面方向与长度,每一个向量恰好有唯一一对数表示

6. 三维向量

每个三维向量都有一个唯一的一组三元序列对应

7. 向量相加的本质是维度相加

8. 向量的数乘本质是每个维度分量与标量相乘,即方向不变,长度改变(正负)

9. 线性代数为大数据提供批量处理与可视化的理论依据

大数据们

线性视图

10. 向量的形成

所有二维向量都是由一组基底($\vec{i},\vec{j}$)的两个分量拉伸变换而来.

一般取 $\vec i$为x轴的 $\vec 1$,取 $\vec j$为y轴的 $\vec 1$

所以 向量vector = scalar_1 x basis_1 + scalar_2 x basis_2

11. 任意基底

What if we choose different basis vectors?

我们要知道,正是有了通用的统一的基底,我们才能在世界任何地方把一组数字转换成一个向量

总结: 向量依赖于基底,基底乘上不同线性标量构成的向量集合称为张成的空间.注:标量必须是实数

画图

为画图方便,先定义坐标原点,再依据向量确定该向量的终点.打点

发现

三元向量保持一个向量不变,只变其中两个向量,则张成的空间是一个平面

当我们缩放第三个分量时,前两个分量张成的平面将沿第三个分量的缩放方向来回扫动,从而扫过整个空间

12.Linearly dependent 线性相关

1. 上图当第三方向量刚好落在前两个向量组成的平面上,或 $(\vec i,\vec j)$两个向量落在同一条直线上.

2. 此时抽掉其中一个向量也不会影响张成的空间,则称向量 $\vec i$与 $\vec j$或向量 $\vec k$`与 $(\vec i,\vec j)$是线性相关的

13.Linearly independent 线性无关

1. 新添加的向量能给张成的空间带来新维度
2. 故:向量的基底就是可以张成该空间的所有线性无关向量的集合
3. 所以:向量的一组基底就是张成空间的基底的最小集

14. Linear transformation 线性变换

不死记硬背理解矩阵向量乘法

$\begin{bmatrix} {1}&-3\\{2}&4\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} {5}\\{7}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {(1)(5t'c)+(-3)(7)}\\{(2)(5)+(4)(7)}\\\end{bmatrix}$
上述表达式蕴涵了一种线性变换思想,本质起始就是func()的一种

变换;暗示了我们向量函数应当从空间运动角度理解,本质是如何把向量甲通过与另一向量规则作用变换成乙向量

线性变换定义:

1. 直线在空间变换后仍是直线
2. 原点始终保持固定
3. 典型:保持网格线平行且等距分布的变换
   如平面直角坐标系
4. 定义向量$\vec{x,y}$二维矩阵满足 $\begin{bmatrix} {x}\\{y}\\\end{bmatrix}$如 $\begin{bmatrix} {-1}\\{2}\\\end{bmatrix}$就表示 $\vec v=-1\vec i+2\vec j$.
   我们发现向量 $\vec v$是向量( $\vec i,\vec j$)的一个特定的线性组合.看图可知,我们在只知道 $\vec i$与 $\vec j$的落脚点的情况下,一定能根据线性组合得到 $\vec v$的落脚点

矩阵乘法的意义

任意一组基底,如基底 $\vec i$(1,-2)+基底 $\vec j$(3,0)组成的矩阵乘以线性组合C = x $\vec i$+y $\vec j$`里的系数(x,y)的结果是C的值(一个二维向量)

式子为