[DP]HDU6415(2018多校训练赛第九场 Problem A) Rikka with Nash Equilibrium 题解

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题目大意

给出一个$n*m$的网格，现要在网格中填入1，2，……，$n*m$，如果一个格子数比同行同列的数都大，那么就说这个格子占领了这行这列，求只有一个格子占满一行一列的方案数。

解题报告

因为$n*m$是最大的，所以他肯定占领一行一列，所以这样的话我们就必须保证其他的数都不能同时占领一行一列了。

如果我们随便把$n*m$放在某个格子上，接下来放$n*m-1$，那么为了保证”其他数不能占领“，那么它只能放在$n*m$所在行列上。再往下处理也是一样，但是除了前面比它大的数所在行列之外，在交叉点上也可以放，同时被两个大数压制。

那么就可以选择从大到小放，根据前面的策略，发现要满足题目限制，有三种可行的方案。

1.放在已覆盖的一行上，只占领一列。

2.放在已覆盖的一列上，只占领一行。

3.放在已覆盖的一行一列交点处，没有占领。

考虑DP，$f[i][j][k]$表示已覆盖$i$行$j$列，还有$k$个已覆盖的交点有空位的方案数，初始$f[1][1][0]=n*m$， 答案就是$f[n][m][0]$。

三种方案转移一下……还是见代码吧。

示例代码

题目传送门

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int tst,n,m,tt;
LL f[85][85][6405];
int main()
{
    freopen("nash.in","r",stdin);
    freopen("nash.out","w",stdout);
    scanf("%d",&tst);
    while (tst--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&tt);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
                for (int k=0;k<=i*j;k++) f[i][j][k]=0;
        f[1][1][0]=n*m;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
                for (int k=i*j;k>=0;k--)
                    if (f[i][j][k]){
                        if (i<n) f[i+1][j][k+j-1]=(f[i+1][j][k+j-1]+f[i][j][k]*((n-i)*j))%tt;
                        if (j<m) f[i][j+1][k+i-1]=(f[i][j+1][k+i-1]+f[i][j][k]*((m-j)*i))%tt;
                        if (k) f[i][j][k-1]=(f[i][j][k-1]+f[i][j][k]*k)%tt;
                    }
        printf("%lld\n",f[n][m][0]);
    }
    return 0;
}