2018 Multi-University Training Contest 9 1001 Rikka with Nash Equilibrium（hdu 6415）（dp）

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题目链接：hdu 6415 Rikka with Nash Equilibrium

Sample Input
2
3 3 100
5 5 2333
 

Sample Output
64
1170

题意： n*m的矩阵，填入1~n*m的数字，若某个数字是这个数字所在行列的最大值，那么这个数字就被称为Nash Equilibrium，现在要求你构造的矩阵只存在一个Nash Equilibrium数，输出构造方案数，并取模K。

思路：dp[i][j][k]代表，已经放入了i个数字，占了j行k列。我们从大到小放入数字，下图中横线代表放过数字的行，竖线表示方过数字的列。现在我们放入一个新的数字，这个数字肯定比已经放好的数字小（因为我们是从大到小放的），只要这个数字放入位置的行或者列至少有一个已经有数字了，那么这个数字肯定不会是Nash Equilibrium数，是符合条件的。所以我们有三种转移的情况：

1.放入的数字新增加了一行：dp[i+1][j+1][k]，看下图的红×位置，有m*（n-j）个位置

2.放入的数字新增加了一列：dp[i+1[j][k+1]，看下图的红圈位置，有n*（m-k）个位置

3.放入的数字不增加行列：dp[i+1][j][k]，看下图的绿圈位置，有j*k-i个位置

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll dp[6403][81][81];//不能开太大，不然会T 

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        ll mod;
        scanf("%d%d%lld",&n,&m,&mod);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1][1]=n*m;
        for(int i=1;i<n*m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                for(int k=1;k<=m;k++){
                    if(max(j,k)>i)break;
                    if(!dp[i][j][k])continue;
                    if(j<n) dp[i+1][j+1][k]=(dp[i+1][j+1][k]+dp[i][j][k]*(n-j)%mod*k%mod+mod)%mod;
                    if(k<m) dp[i+1][j][k+1]=(dp[i+1][j][k+1]+dp[i][j][k]*j%mod*(m-k)%mod+mod)%mod;
                    if(i<j*k) dp[i+1][j][k]=(dp[i+1][j][k]+dp[i][j][k]*(k*j-i)+mod)%mod;
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[n*m][n][m]%mod);
    }
    return 0;
}