稳健回归（Robustness regression）

稳健回归（Robustness regression）

标签（空格分隔）： 监督学习

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@ author ： [email protected]
@ time : 2016-07-08

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最小二乘法的弊端

之前文章里的关于线性回归的模型，都是基于最小二乘法来实现的。但是，当数据样本点出现很多的异常点（outliers），这些异常点对回归模型的影响会非常的大，传统的基于最小二乘的回归方法将不适用。

比如下图中所示，数据中存在一个异常点，如果不剔除改点，适用OLS方法来做回归的话，那么就会得到途中红色的那条线；如果将这个异常点剔除掉的话，那么就可以得到图中蓝色的那条线。显然，蓝色的线比红色的线对数据有更强的解释性，这就是OLS在做回归分析时候的弊端。

当然，可以考虑在做回归分析之前，对数据做预处理，剔除掉那些异常点。但是，在实际的数据中，存在两个问题：

1. 异常点并不能很好的确定，并没有一个很好的标准用于确定哪些点是异常点
2. 即便确定了异常点，但这些被确定为异常的点，真的是错误的数据吗？很有可能这看似异常的点，就是原始模型的数据，如果是这样的话，那么这些异常的点就会带有大量的原始模型的信息，剔除之后就会丢失大量的信息。

再比如下面这幅图，其中红色的都是异常点，但是很难从数据中剔除出去。

稳健回归

稳健回归（Robust regression），就是当最小二乘法遇到上述的，数据样本点存在异常点的时候，用于代替最小二乘法的一个算法。当然，稳健回归还可以用于异常点检测，或者是找出那些对模型影响最大的样本点。

Breakdown point

关于稳健回归，有一个名词需要做解释：Breakdown point，这个名词我并不想翻译，我也没找到一个很好的中文翻译。对于一个估计器而言，原始数据中混入了脏数据，那么，Breakdown point 指的就是在这个估计器给出错误的模型估计之前，脏数据最大的比例 $\alpha$，Breakdown point 代表的是一个估计器对脏数据的最大容忍度。

举个简单的例子：有 $n$ 个随机变量，$(X_1,X_2,\dots,X_n)$， 其对应的数据为$(x_1,x_2,\dots,x_n)$，那么，我么可以求出这 $n$ 个随机变量的均值：

$$\overline X= \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}$$

这个均值估计器的Breakdown point 为0，因为使任意一个$x_i$变成足够大的脏数据之后，上面估计出来的均值，就不再正确了。

毫无疑问，Breakdown point越大，估计器就越稳健。

Breakdown point 是不可能达到 50% 的，因为如果总体样本中超过一半的数据是脏数据了，那么从统计上来说，就无法将样本中的隐藏分布和脏数据的分布给区分开来。

本文主要介绍两种稳健回归模型：RANSAC（RANdom SAmple Consensus 随机采样一致性）和Theil-Sen estimator。

RANSAC随机采样一致性算法

RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），它是一种重采样技术（resampling technique），通过估计模型参数所需的最小的样本点数，来得到备选模型集合，然后在不断的对集合进行扩充，其算法步骤为：

1. 随机的选择估计模型参数所需的最少的样本点。
2. 估计出模型的参数。
3. 找出在误差 $\epsilon$ 内，有多少点适合当前这个模型，并将这些点标记为模型内点
4. 如果内点的数目占总样本点的比例达到了事先设定的阈值 $\tau$，那么基于这些内点重新估计模型的参数，并以此为最终模型， 终止程序。
5. 否则重复执行1到4步。

RANSAC算法是从输入样本集合的内点的随机子集中学习模型。

RANSAC算法是一个非确定性算法（non-deterministic algorithm），这个算法只能得以一定的概率得到一个还不错的结果，在基本模型已定的情况下，结果的好坏程度主要取决于算法最大的迭代次数。

RANSAC算法在线性和非线性回归中都得到了广泛的应用，而其最典型也是最成功的应用，莫过于在图像处理中处理图像拼接问题，这部分在Opencv中有相关的实现。

从总体上来讲，RANSAC算法将输入样本分成了两个大的子集：内点（inliers）和外点（outliers）。其中内点的数据分布会受到噪声的影响；而外点主要来自于错误的测量手段或者是对数据错误的假设。而RANSAC算法最终的结果是基于算法所确定的内点集合得到的。

下面这份代码是RANSAC的适用实例：

# -*- coding: utf-8 -*-

"""
author : [email protected]
time : 2016-07-07-15-36



"""

import numpy as np
import time
from sklearn import linear_model,datasets

import matplotlib.pyplot as plt

# 产生数据样本点集合
# 样本点的特征X维度为1维，输出y的维度也为1维
# 输出是在输入的基础上加入了高斯噪声N（0,10）
# 产生的样本点数目为1000个

n_samples = 1000
X, y, coef = datasets.make_regression(n_samples=n_samples,
                                      n_features=1,
                                      n_informative=1,
                                      noise=10,
                                      coef=True,
                                      random_state=0)

# 将上面产生的样本点中的前50个设为异常点（外点）
# 即：让前50个点偏离原来的位置，模拟错误的测量带来的误差
n_outliers = 50
np.random.seed(int(time.time()) % 100)
X[:n_outliers] = 3 + 0.5 * np.random.normal(size=(n_outliers, 1))
y[:n_outliers] = -3 + 0.5 * np.random.normal(size=n_outliers)

# 用普通线性模型拟合X，y
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 使用RANSAC算法拟合X,y
model_ransac = linear_model.RANSACRegressor(linear_model.LinearRegression())
model_ransac.fit(X, y)
inlier_mask = model_ransac.inlier_mask_
outlier_mask = np.logical_not(inlier_mask)

# 使用一般回归模型和RANSAC算法分别对测试数据做预测
line_X = np.arange(-5, 5)
line_y = model.predict(line_X[:, np.newaxis])
line_y_ransac = model_ransac.predict(line_X[:, np.newaxis])

print "真实数据参数：", coef
print "线性回归模型参数：", model.coef_
print "RANSAC算法参数： ", model_ransac.estimator_.coef_


plt.plot(X[inlier_mask], y[inlier_mask], '.g', label='Inliers')
plt.plot(X[outlier_mask], y[outlier_mask], '.r', label='Outliers')
plt.plot(line_X, line_y, '-k', label='Linear Regression')
plt.plot(line_X, line_y_ransac, '-b', label="RANSAC Regression")
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

运行结果为：

真实数据参数： 82.1903908408
线性回归模型参数： [ 55.19291974]
RANSAC算法参数：  [ 82.08533159]

Theil-Sen Regression 泰尔森回归

Theil-Sen回归是一个参数中值估计器，它适用泛化中值，对多维数据进行估计，因此其对多维的异常点（outliers 外点）有很强的稳健性。

一般的回归模型为：

y=α+βx+ϵ

$$y = \alpha + \beta x + \epsilon$$

其中，$\alpha , \beta$ 模型的参数，而 $\epsilon$ 为模型的随机误差。

Theil-Sen回归则是这么处理的：

$$\beta = Median\{\frac{y_i - y_j}{x_i - x_j}:x_i \neq x_j ,i<j=1,\dots,n\}$$

在实践中发现，随着数据特征维度的提升，Theil-Sen回归的效果不断的下降，在高维数据中，Theil-Sen回归的效果有时甚至还不如OLS（最小二乘）。

在之间的文章《线性回归》中讨论过，OLS方法是渐进无偏的，Theil-Sen方法在渐进无偏方面和OLS性能相似。和OLS方法不同的是，Theil-Sen方法是一种非参数方法，其对数据的潜在分布不做任何的假设。Theil-Sen方法是一种基于中值的估计其，所以其对异常点有更强的稳健性。

在单变量回归问题中，Theil-Sen方法的Breakdown point为29.3%，也就是说，Theil-Sen方法可以容忍29.3%的数据是outliers。

# -*- coding: utf-8 -*-

"""

@author : [email protected]
@time ；2016-07-08_08-50

Theil-Sen 回归

本例生成一个数据集，然后在该数据集上测试Theil-Sen回归

"""

print __doc__

import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression, TheilSenRegressor,\
                                 RANSACRegressor

estimators = [('OLS', LinearRegression()),
              ('Theil-Sen', TheilSenRegressor())]

# 异常值仅仅出现在y轴
np.random.seed((int)(time.time() % 100))
n_samples = 200

# 线性模型的函数形式为： y = 3 * x + N(2, .1 ** 2)
x = np.random.randn(n_samples)
w = 3.
c = 2.
noise = c + 0.1 * np.random.randn(n_samples)
y = w * x + noise

# 加入10%的异常值,最后20个值称为异常值
y[-20:] += -20 * x[-20:]

X = x[:, np.newaxis]
plt.plot(X, y, 'k+', mew=2, ms=8)
line_x = np.array([-3, 3])

for name, estimator in estimators:
    t0 = time.time()
    estimator.fit(X, y)
    elapsed_time = time.time() - t0
    y_pred = estimator.predict(line_x.reshape(2, 1))
    plt.plot(line_x, y_pred, label='%s (fit time: %.2fs)'
             %(name, elapsed_time))

plt.axis('tight')
plt.legend(loc='upper left')

plt.show()