Leetcode22.Generate_Parentheses

回溯法
时间复杂度:O( $Nh(N)$)=O( $N\frac{C_{2N}^{N}}{N+1}$)=O( $\frac{4^n}{n^{\frac{1}{2}}}$)
时间复杂度分析：对于n对括号生成的序列数，设为h(n)
生成n对有效括号排列数的计算
可以抽象为：在任意k<n总有开括号数小于等于闭括号数，且当k=n时，开括号数等于闭括号数的条件下有多少种括号排列方式。
继而可以抽象为：对n个0和n个1的排列组合，对任意k<=n总有0的个数小于等于1的个数。
这类排列数就是卡塔兰数，其递推式为：
$h(n)=\sum^{n}_{i=0}{h(i)*h(n-1-i)}(h(0)=1,h(1)=1)$
其通式为
$h(n) = \frac{C^{2n}_{n}}{n+1}$, $h(n)≈\frac{4^n}{n^{\frac{3}{2}}}$
余下对卡塔兰数与 $O(h(N))$的详细数学分析见下网页
https://blog.csdn.net/qq_42263831/article/details/82957308
e.g.
$h(1)=1$
$h(2) = h(1)h(0)+h(0)h(1)=2$
$h(3)=h(2)h(0)+h(1)(1)+h(0)h(2)=5...$
C++代码：

class Solution {
public:
	vector<string> result;
	vector<string> generateParenthesis(int n) {
		generate("", n, 0, 0);
		return result;
	}
	void generate(string s, int total, int left, int right) {
		if (right == total)
		{
			result.push_back(s);
		}
		if (left > right)
		{
			string temp = s + ')';
			generate(temp, total, left, right + 1);
		}
		if (left < total)
		{
			string temp = s + '(';
			generate(temp, total, left + 1, right);
		}
	}
};