图像处理之直方图处理

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灰度级范围为[0,L-1]的数字图像的直方图是离散函数：

其中是第k级灰度值(=k)，是图像中灰度值为的像素个数。

通常用MN表示的图像像素的总数除它的每个分量来归一化直方图，即：

M和N分别是图像的行和列维数，k = 0,1,...,L-1。归一化直方图的所有分量和为1。

若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并且均匀分布，则该图像会有高对比度的外观和灰度细节丰富的特点。如下图：

直方图均衡

用变量r表示待处理的图像的灰度，灰度变换函数通常需要满足两个条件：

• (a) T(r)在空间上为单调递增函数
• (b) 当时，

当考虑反函数时，条件(a)改为：

• (a') T(r)在空间上是严格单调递增函数

条件(a)保证输出灰度值不少于相应的输入值，防止灰度反变换时产生人为的缺陷；条件(b)保证输出灰度的范围与输入灰度的范围相同；条件(a')保证从s到r的反映射是单值的，即一对一的，防止出现二义性。如下图：

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 为了产生均衡的直方图，使用如下的灰度变换函数：

....................................(1)

容易看出，该变换满足条件a和b。

下面解释为什么经过(1)式的灰度变换能产生均衡直方图。

令和分别表示随机变量r和s的概率密度函数(PDF)。若和T(r)已知，则变换后的变量s的PDF为：

  ......................................................(2)

使用(1)式的变换函数，得：

将dr/ds代入(2)式，得：

可知，始终是一个均匀概率密度函数，与的形式无关。所以，经过(1)式灰度变换的图像能产生均衡直方图。

(1)式的积分形式针对的是连续灰度值，而对于离散值，用求和的形式处理。一幅图像中灰度级出现的概率为：

(1)式中变换的离散形式为：

注：在实际使用中，需要将灰度值取近似为最接近的整数。

直方图匹配（规定化）

直方图匹配或直方图规定化，是指处理后的图像具有规定的直方图形状。

具体说来就是，要找到一个灰度变换函数，使图像在该灰度变换函数的作用下，产生一个我们指定形状的直方图，所谓指定形状的直方图形状，其实就是一个指定的概率密度函数。

假设r和z分别表示输入图像和输出图像的灰度级，是输入图像的概率密度函数，是我们希望输出图像所具有的指定概率密度函数。

令：

可以看出，这就是直方图均衡中的变换函数。知道，就能得到T(r)。

定义随机变量z：

同样，知道，就能得到G(z)，而就是我们指定的概率密度函数。

可得：

上式就是我们要求的直方图匹配的灰度变换函数。

对于离散形式，类似的我们令：

其中，规定的直方图的第i个值，是规定的直方图对应的图像的第q级灰度值（=q），利用反变换找到期望的：

实践中，并不需要反变换。因为我们处理的灰度级是整数（如8比特图像的灰度级是从0到255），我们常用下面的直方图规定化过程：

1. 计算给定图像的及其直方图均衡变换，把四舍五入为范围[0,L-1]内的整数；
2. 对q=0,1,2,...,L-1计算，其中规定的直方图的值，把G四舍五入为范围[0,L-1]内的整数，将G存在一个表中；
3. 对每一个，k=0,1,2,...,L-1，从步骤2中存储的G值表中寻找使最接近。例如表中第64个最接近，则根据的定义，此时q=63，也就是=63。当满足给定的值多于一个时，按惯例选择最小的值。

参考资料：冈萨雷斯《数字图像处理》