数字图像处理之直方图均衡化（Octave)

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直方图的均衡化是什么呢？

举个简单的例子：在一个圆中有很多石头，都集中在圆心附近，对其均衡化就是让这些石头尽可能的均匀分布在圆这个区域内。
并且还有一个原则：如果石头A在原来状态下距离圆心的距离在所有石头是第4位，那么均衡化后仍然是第4位，相对顺序不能变。（大概就是一个拉的更宽了）。

那么要做一个怎么样的映射才能达到这种效果呢？

接下来要补充点概率论的知识了。

首先，一幅图像的灰度值可以看成[0,L-1]之间的随机变量。
然后，既然是随机变量，我们就可以计算每个变量的概率。
最后，有了每个变量的概率，我们就能计算出其概率密度函数（PDF probability denisty function)。

令$P_s(s)$和$P_r(r)$分标识随机变量r和s的概率密度函数，其中$P$的下标用于标识$P_s(s)$和$P_r(r)$是不同的函数。由基本概率论得到的一个基本结果是，如果$P_r(r)$和$T(r)$已知，且值在$T(r)$上市连续可微的，则变化后的变量$s$的PDF可由下面的简单公式得到：

$$p_s(s)=p_r(r)\vert \frac{dr}{ds}\vert       （1）$$

在图像处理中特别重要的变换函数有

$$s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw（2）$$

w为积分的假变量，公式右边是随机变量$r$的累积分布函数（CDF).因为PDF总为正，且总是随着$r$增加而增加，当$r$达到上限$(L-1)$时，则积分等于1.

为了寻找刚才讨论的相应变换的$p_s(s)$,我们使用（1）式，由积分学中的莱布尼茨准则知道，关于上限的定积分的导数是被积函数在该上限的值

$$\frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=(L-1)\frac{d}{dr}[\int_0^rp_r(w)dw]=(L-1)p_r(r)（3）$$

把（3）带入（1）中

$$p_s(s)=p_r(r)\vert\frac{dr}{ds}\vert=p_r(r)\vert\frac{1}{(L-1)p_r(r)}\vert=\frac{1}{L-1},0\le{s}\le{L-1}（4）$$

由此可以看出$p_是一个均匀概率密度函数。达到了我们均衡化的目的的。
实现代码：
equalize.m

function [Image] = equalize (pImage,probability)
[x,y] = size(pImage);
Image = zeros(x,y);
Image = equalizeFunction(pImage,probability);
endfunction

equalizeFunction.m

function [retgray] = equalizeFunction (gray, probability)
%the shift function depends on PDF(probability density function)
%a very import function s = L * (0-r)sum(p(r));
L = 256;
P = zeros(256,1);
p = zeros(size(gray));
[x,y] = size(gray);
for k=1:256
   for m=1:k
      P(k,1) = P(k,1)+probability(m,1);
   end;
end;
for i=1:x
   for j=1:y
     p(i,j) = P(gray(i,j)+1,1);
   end;
end;
retgray = (L-1)*p;    
endfunction

效果图：
未均衡化