1. OpenCV实现

在OpenCV中，实现直方图均衡化比较简单，调用equalizeHist函数即可。具体代码如下：

#include <iostream>
#include <opencv2\opencv.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{
    Mat srcImage;
    srcImage = imread("D:\\Data\\imgDemo\\lena512color.bmp", IMREAD_GRAYSCALE);
    imshow("原图像", srcImage);
    
    Mat dstImage;
    equalizeHist(srcImage, dstImage);
    imshow("均衡后", dstImage);

    waitKey();

    return 0;
}

注意equalizeHist函数处理的是8位单波段的mat。运行结果如下所示，可以发现经过直方图均衡化之后，图像的对比度增强了很多。

2. 原理

直方图均衡化的基本思想是把原始图的直方图尽可能的均匀分布，其数学原理与数学中的概率论相关。注意，我这里很多论述牺牲了数学的严密性来加强可理解性，毕竟作者只是个应用者和使用者。

1) 概率密度函数

具体到一张图像上来说，可以把图像的灰度（像素值）r_i看作是随机变量，则可以知道图像灰度的概率为：

对应的，对于一个连续型的随机变量x，如果存在函数f(x)也满足上面两个条件：

则这个函数就是概率密度函数。
离散随机变量的概率有具体的公式让你理解，那么连续随机变量的概率密度函数具体的公式是怎么样的呢？这个概念其实需要下面要介绍的概率分布函数来理解。

2) 概率分布函数

概率分布函数就是是概率密度函数的变上限积分：

通俗来讲，概率分布函数就是所有小于当前随机变量的概率累加。所以，概率分布函数也被叫做累积概率函数。
知道概率分布函数，引用下网上相关论述^[1]就能更好的理解概率密度函数了：

3) 原理应用

直方图均衡化变换就是一种灰度级非线性变换，设r和s分别表示变换前和变换后的灰度，且r和s都进行了归一化的处理。则直方图均衡化变换的公式为：

即归一化后，直方图均衡化的结果s就是r的概率分布函数。

4) 原理推导

根据概率论随机变量的函数的分布的相关知识，有s的概率密度函数为

以下^[2]具体论述了其应用过程：

继续推导，有：

其中s为r的概率分布函数，则：

变换后变量s的概率密度为常数，说明其概率密度为均匀分布的。

3. 具体实现

根据第二节的论述，就知道直方图均衡化的具体操作了，可以分成以下几步：

读取源图像，统计源图像的直方图。
归一化直方图，统计源图像每个像素的概率密度值和概率分布值。
将每个像素的概率分布值恢复到 0 到 255 的区间，作为目标图像的像素。
写出目标图像。

其具体代码实现如下，我这里是采用 GDAL 来读取影像的，因为我想直接操作读
取的内存 buf，这样更底层一些。如果你不会使用 GDAL 也没有关系，你只需要
知道 GDAL 读取的是按照 RGBRGBRGB…排序的内存 buf。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <gdal_priv.h>

using namespace std;

//直方图均衡化
void GetHistAvgLut(GUIntBig* anHistogram, int HistNum, vector<uint8_t > &lut)
{
    //统计像素总的个数
    size_t sum = 0;
    for (int ci = 0; ci < HistNum; ci++)
    {
        sum = sum + anHistogram[ci];
    }

    //
    vector<double> funProbability(HistNum, 0.0); //概率密度函数
    vector<double> funProbabilityDistribution(HistNum, 0.0);    //概率分布函数

    //计算概率分布函数
    double dsum = (double)sum;
    double accumulation = 0;
    for (int ci = 0; ci < HistNum; ci++)
    {
        funProbability[ci] = anHistogram[ci] / dsum;
        accumulation = accumulation + funProbability[ci];
        funProbabilityDistribution[ci] = accumulation;
    }

    //归一化的值扩展为0~255的像素值，存到颜色映射表
    lut.resize(HistNum, 0);
    for (int ci = 0; ci < HistNum; ci++)
    {
        double value = std::min<double>(std::max<double>(255 * funProbabilityDistribution[ci], 0), 255);
        lut[ci] = (unsigned char)value;
    }
}

//计算16位的颜色映射表
bool CalImgLut(GDALDataset* img, vector<vector<uint8_t>>& lut)
{
    int bandNum = img->GetRasterCount();    //波段数
    lut.resize(bandNum);

    //
    for (int ib = 0; ib < bandNum; ib++)
    {
        //计算该通道的直方图
        int HistNum = 256;
        GUIntBig* anHistogram = new GUIntBig[HistNum];
        int bApproxOK = FALSE;
        img->GetRasterBand(ib + 1)->GetHistogram(-0.5, 255.5, HistNum, anHistogram, TRUE, bApproxOK, NULL, NULL);

        //直方图均衡化    
        GetHistAvgLut(anHistogram, HistNum, lut[ib]);

        //
        delete[] anHistogram;
        anHistogram = nullptr;
    }

    return true;
}


int main()
{
    //
    GDALAllRegister();          //GDAL所有操作都需要先注册格式
    CPLSetConfigOption("GDAL_FILENAME_IS_UTF8", "NO");  //支持中文路径

    //读取
    const char* imgPath = "D:\\Data\\imgDemo\\lena512color.bmp";
    GDALDataset* img = (GDALDataset *)GDALOpen(imgPath, GA_ReadOnly);
    if (!img)
    {
        cout << "Can't Open Image!" << endl;
        return 1;
    }

    //
    int imgWidth = img->GetRasterXSize();   //图像宽度
    int imgHeight = img->GetRasterYSize();  //图像高度
    int bandNum = img->GetRasterCount();    //波段数
    int depth = GDALGetDataTypeSize(img->GetRasterBand(1)->GetRasterDataType()) / 8;    //图像深度

    //创建颜色映射表
    vector<vector<uint8_t>> lut;
    CalImgLut(img, lut);

    //创建
    GDALDriver *pDriver = GetGDALDriverManager()->GetDriverByName("BMP"); //图像驱动
    char** ppszOptions = NULL;
    const char* dstPath = "D:\\Data\\imgDemo\\dst.bmp";
    int bufWidth = imgWidth;
    int bufHeight = imgHeight;
    GDALDataset* dst = pDriver->Create(dstPath, bufWidth, bufHeight, bandNum, GDT_Byte, ppszOptions);
    if (!dst)
    {
        printf("Can't Write Image!");
        return false;
    }

    //读取buf
    size_t imgBufNum = (size_t)bufWidth * bufHeight * bandNum * depth;
    GByte *imgBuf = new GByte[imgBufNum];
    img->RasterIO(GF_Read, 0, 0, bufWidth, bufHeight, imgBuf, bufWidth, bufHeight,
        GDT_Byte, bandNum, nullptr, bandNum*depth, bufWidth*bandNum*depth, depth);

    //迭代通过颜色映射表替换值
    for (int yi = 0; yi < bufHeight; yi++)
    {
        for (int xi = 0; xi < bufWidth; xi++)
        {
            for (int bi = 0; bi < bandNum; bi++)
            {
                size_t m = (size_t)bufWidth * bandNum * yi + bandNum * xi + bi;
                imgBuf[m] = lut[bi][imgBuf[m]];
            }
        }
    }
    
    //写入
    dst->RasterIO(GF_Write, 0, 0, bufWidth, bufHeight, imgBuf, bufWidth, bufHeight,
        GDT_Byte, bandNum, nullptr, bandNum*depth, bufWidth*bandNum*depth, depth);

    //释放
    delete[] imgBuf;
    imgBuf = nullptr;
    GDALClose(dst);
    dst = nullptr;
    GDALClose(img);
    img = nullptr;

    return 0;
}

可以看到我这里统计了0到255的直方图之后，归一化计算每个像素的分布概率，再还原成0到255的值并预先生成了一个颜色映射表，最后直接通过这个颜色映射表进行灰度变换。这是图像处理的一种加速办法。最终得到的结果对比：

其直方图对比：

4. 参考文献

[1] 应该如何理解概率分布函数和概率密度函数
[2] 直方图均衡化的数学原理
[3] 理解概率密度函数
[4] 直方图均衡化的数学原理
[5] 直方图均衡化（Histogram equalization）与直方图规定化

图像处理之直方图均衡化拉伸