欧几里德算法复杂度分析

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欧几里得算法

function Euclid(a; b)
1: if b = 0 then
2: return a;
3: end if
4: return Euclid(b; a mod b);

复杂度分析：
设$a >= b$，则有$a \mod b < \frac{a}{2}$
证明:
假设 $a = bq +r$，其中 $q>=1$，且$0<= r < b$,
则有：
$r= a - bq < b$
因此：
$a<b+bq$ 即 ==> $a<b(1+q)$
于是：
$\frac{1}{1+q} \times a < b$

==> $\frac{a}{1+q} - b< 0$
==>$\frac{aq}{1+q} - bq< 0$
==>$\frac{aq}{1+q} + \frac{a}{1+q}- bq< \frac{a}{1+q}$
===> $a - bq< \frac{a}{1+q}$
因为$a >=b$，所以有$q>=1$,于是：$\frac{a}{1+q} <= \frac{a}{1+1}$
所以有：$a - bq< \frac{a}{1+q} <= \frac{a}{2}$
即：$a \mod b < \frac{a}{2}$,每迭代一轮，a,b都会变成原来的一半!
因为算法的终止条件是a或b被处理为0为止。
于是复杂度为：$min(O(loga),O(logb))$ 即O(logn)