CS224n笔记二之word2vec与softmax推导

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最近刚刚开始看斯坦福CS224n系列视频，主要讲的是自然语言处理与深度学习的结合。笔者怕自己看完视频就忘了，因此想记录下学习过程中的笔记。当然笔者发现了网上已经有人也发了一些CS224n的学习笔记。笔者主要学习了视频和参考了这篇笔记，再加上一些自己觉得难懂的地方的理解。笔者也是刚刚入门，水平有限，如有错漏，还望指出。

如何在电脑中表示一个词的意义？

用电脑表示一个词的问题

词向量的主要思路

• 通过单词和单词的上下文预测彼此。
• 两个算法：
  
  • Skip-gram：通过目标单词来预测它的上下文
  • Continuous Bag of Words(CBOW)：通过上下文预测目标单词
• 两种训练方法：
  
  • Hierarchical softmax
  • Negative sampling

Skip-gram模型

• 上图的意思就是在已知banking的情况下，预测turning，into，cnises，as的概率，即：$P(w_{t+j}|w_t), j = -2,-1,1,2$。所以我们的目标函数就是：
  $${J}'(\theta) = \prod_{t=1}^{T}\prod_{-m\leq j\leq m, \ j\neq 0 }P(w_{t+j}|w_t;\theta)$$
• 我们要的是让概率最大化，也就是最大化这个目标函数，但是这里是连乘的形式，一般我们会取负对数，让乘法变成加法，让最大化变最小化。即：
  $$J(\theta) = -\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\sum_{-m\leq j\leq m, j\neq 0 }log\ P(w_{t+j}|w_t;\theta)$$

$P(w_{t+j}|w_t;\theta)$这个条件概率要怎么表示。

• 预测某个上下文条件概率$P(w_{t+j}|w_t;\theta)$可以由softmax来计算：
  

  $$P(o|c)=\frac{exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w=1}^{V}exp(u_w^Tv_c)}$$

• 首先，公式中的u和v都是词向量，所以$u^Tv$是向量内积，如果两个词向量比较接近，他们的内积会比较大。V是整个词典词的个数，所以其实分母部分就是所有词的词向量与目标词向量(即上面图中的示例banking的词向量)的内积之和。而使用指数是为了将实数(有负有正)映射成整数，然后分母部分是为了归一化变成概率。

skip-gram

• 上图很清晰地展示了skip-gram模型的整个流程。
• 最左边是当前词的one-hot向量($w_t$)。
• 第二个矩阵W(图中W矩阵是dxV,实际应该是Vxd,下同)，矩阵的每一列其实就是一个词的分布式词向量。V是词典的词的个数，所以这个矩阵包含了词库中每个词的词向量。
• $w_t$的one-hot向量与W相乘得到$v_c$，也就是相当于从W矩阵中提取了词 $w_t$的词向量。
• W矩阵包含了所有词的词向量，所以第三步是$v_c$与W矩阵的转置相乘，其实就是让$v_c$与词库中的所有词的词向量作内积。
• 得到内积之后，利用softmax将内积的结果映射成概率，就可以得到在$v_c$的条件下，上下文中出现最大概率的词是哪一个，然后和标签(就是上图中最后一行)对比，接下来可以得到loss函数。然后利用梯度下降来更新W矩阵，让它的结果更接近标签的结果。
• 官方笔记有非手写版的图：
  
• 这个图的W矩阵的行与列才是对的。

训练模型：计算参数向量的梯度

• 我们的目标是训练出矩阵W，所以我们把所有参数写进向量$\theta$:
  
• 其中，每一行都是一个词向量，$v$是当词作为center word的时候的词向量，$u$是当词作为上下文的时候的词向量，所以有2V个。

• 梯度下降的具体推导如下：
  
  
  
  
  导数的后一项刚好就是均值（期望）。p为概率，乘以u。然后加和，不就是均值的定义吗？

• 计算出了梯度之后，就可以更新参数$\theta$了。即：
  

  $$\theta^{new} = \theta^{old}-\alpha\frac{\partial }{\partial \theta^{old}}J(\theta)$$