二分思想（整数数列上的二分+实数域上的二分）

说到二分思想感觉大家都知道，但可能真的没有去思考过，今天我就来总结一下：

其实对于二分来说，我们可以分为两类：1、整数域上的二分   2、实数域上的二分

但是总的二分的条件都是一样的：需要序列具有单调性。

1、整数域上的二分，分三步 (其中mid最好是>>1 而不是/2, 因为>>1 是向下取整，而/2是向0取整，在负数时很有用)

      （1）通过分析具体问题，确定左右半段哪一个是可行区间，以及mid归属那一半段。

      （2）根据分析结果，选择“r=mid, l=mid+1, mid=(l+r)>>1” 和 “l=mid,  r=mid-1, mid=(l+r+1)>>1”两个配套形式之一。

      （3）二分终止条件是l==r, 该值就是答案所在位置。

例子：在单调递增序列a中查找>=x的数中的最小的一个：

        

while(l<r)
{
   int mid=(l+r)>>1;
   if(a[mid]>=x) r=mid; else l=mid+1;  
}
return a[l];

       在单调递增序列a中查找<=x的数中的最大的一个：

while(l<r)
{
    int mid=(r+l+1)>>1;
    if(a[mid]<=x) l=mid; else r=mid-1;
}
return a[l];

2、实数域上的二分(重点是精度的确定)

 在实数域上的二分简单，重要的是确定好所需的精度eps，以l+eps<r为循环条件，每次根据在mid 上的判定选择r=mid  或 l=mid分支之一即可，一般需要保留k位小数是，则取eps=10^-(k+2)

    

while(l+1e-5<r)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}

有时精度不容易确定或者表示，就干脆采用循环固定次数的二分方法，也是一种相当不错的策略。这种方法得到的结果的精度通常比设置eps更高。 ----摘自《算法竞赛进阶指南》

for(int i=0;i<100;i++)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}