二分答案经典例题（1） 整数域的二分答案

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什么时候我们要二分答案？

答：当答案具有单调性时（这不是废话吗emmm）

来看一道最经典的例题：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1182

Problem1：对于给定的一个长度为的正整数数列，现要将其分成段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

数据范围：

考虑二分答案：

我们假设每段和的最大值为内的某个值，显然答案要求的。

单调性：当越大时，选取的合法的段的长度就越长，需要分成的段的个数就越少。当越小时，选取的合法的段的长度就越短，需要分成的段的个数就越多。

那么假设当前可以确定我们求的每段和的最大值的最小值就在内。取：

1、如果取时，我们可以将原数列划成段，那么根据刚才说的单调性，是合法的，此时时也一定合法（能将将数列划成段），但我们要尽量最小化，所以时一定合法，但由于当前是合法的，故时显然，其答案不会比 时更优，所以答案已不可能在内，故取。

2、若当前时不合法，那么同（1）理，取。

初始化：

核心代码：

while(l+1<r)
{
    mid=(l+r)>>1;
    flag=check(mid);
    if(!flag)	l=mid;
    if(flag)	r=mid;
}

这个代码还是蛮有讲究的，具体表现在为什么while循环的终止条件是?

可能有人会疑惑为什么不去。那我们现在假设为循环的终止条件，当前，此时应取。放在这个题里面说：如果当前检验时无法将数列划分成段，此时应取，这样新的，还和刚才的一样。这时你又检验了一遍时合不合法，（前面说了不合法），然后你又取，如此周而复始，你会惊奇的发现你的代码死循了。

所以，我们设置终止条件为，保证退出循环时。

注意：由于二分的区间内包含的值都有可能是答案，所以在退出循环后对和进行是否合法的检验。

对于这个题来讲，答案越小越好，所以退出while循环后的后续处理这么写：

for(ri i=l;i<=r;i++)
    if(check(i))	{ ans=i; break; }

check函数怎么写？

因为要求划分的段是连续的，所以我们从开始划分。

bool check(int maxn)
{
    int now=0,cnt=1;
    for(ri i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>maxn)	return 0;单个元素值>mid时肯定不合法
        if(now+a[i]<=maxn)	{ now+=a[i]; continue; }//此时说明不需要划分新段
        now=a[i],cnt++;
    }
    if(cnt<=m)	return 1;//当前x=mid合法时返回1，否则返回0
    return 0;
}

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=100020;
int n,m,sum,a[MAXN],l,r,mid,flag,ans;

bool check(int maxn)
{
    int now=0,cnt=1;
    for(ri i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>maxn)	return 0;
        if(now+a[i]<=maxn)	{ now+=a[i]; continue; }
        now=a[i],cnt++;
    }
    if(cnt<=m)	return 1;
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(ri i=1;i<=n;i++)	{ scanf("%d",&a[i]); sum+=a[i]; }
    l=0,r=sum+1;
    while(l+1<r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        flag=check(mid);
        if(!flag)	l=mid;
        if(flag)	r=mid;
    }
    for(ri i=l;i<=r;i++)
        if(check(i))	{ ans=i; break; }
    cout<<ans;
    return 0;
}

Problem2：陶陶在地上丢了A个瓶盖，这A个瓶盖丢在一条直线上，现在他想从这些瓶盖里找出B个（B<=A<=100000），使得距离最近的2个距离最大，他想知道最大可以达到多少。

单调性：选取的瓶盖的最近距离越大，能选取的瓶盖个数就越少。

二分距离最近的瓶盖之间的距离。显然，要求的最近的瓶盖之间的距离越大，满足条件的瓶盖就越少。这便是单调性。

check函数的写法：贪心，从左往右能匹配就匹配。

Code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=100020;
int n,m,a[MAXN],l,r,mid,ans;

bool check(int minn)
{
    int cnt=1,now=a[1],flag1=0,flag2=0;
    for(ri i=2;i<=n;i++)//从左往右贪心一遍
        if(a[i]-now>=minn)	cnt++,now=a[i];
    if(cnt>=m)	flag1=1;
    cnt=1,now=a[n];
    for(ri i=n-1;i>=1;i--)//从右往左贪心一遍
        if(now-a[i]>=minn)	cnt++,now=a[i];
    if(cnt>=m)	flag2=1;
    if(flag1||flag2)	return 1;
    return 0;	
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(ri i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    l=0,r=a[n]-a[1]+1;
    while(l+1<r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))	l=mid;
        else	r=mid;
    }
    for(ri i=r;i>=l;i--)
        if(check(i))  { ans=i; break; }
    cout<<ans;
    return 0;
}