常用的勾股数：\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)；
连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：
如三角形的三边之比为\(a：b：c=2：3：4\)，则可以设\(a=2k，b=3k，c=4k(k>0)\)；
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，比如已知离心率\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则可知\(c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)\) ，则有\(b=\sqrt{2}t\)；
如\(\Delta ABC\)中，给定\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}\)，若令\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}=k\)，
则有\(cosA=\cfrac{a}{k}\)，\(cosB=\cfrac{b}{k}\)，\(cosC=\cfrac{c}{k}\)，
再结合\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)，\(sinB=\cfrac{b}{2R}\)，\(sinC=\cfrac{c}{2R}\)，
故有\(tanA=tanB=tanC=\cfrac{k}{2R}\)，故\(A=B=C=\cfrac{\pi}{3}\)。
- 设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\)，则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=？
分析：引入比例因子，设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)，则\(S_6=k\)，\(S_3=2k\)，
\(S_6-S_3=-k\)，由\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\)成等比数列，可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\)
则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\)，故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\cfrac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)。
已知\(a：b：c=2：3：4\)，引入非零因子\(k\)，则可以这样表达，\(a=2k，b=3k，c=4k\)，可以看成\(a，b，c\)都是\(k\)的一元函数了。
(2017全国卷1理科第11题)已知\(2^x=3^y=5^z\)，比较\(2x、3y、5z\)的大小；
分析：令\(2^x=3^y=5^z=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}\)，\(z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}\)，
故\(2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}\)，\(3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，\(5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}\)，接下来，
法1：(单调性法)转化为只需要比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，\(\sqrt[5]{5}\)三者的大小即可。
先比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，给两个式子同时6次方，
得到\((\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\)，\((\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\)，
故\(\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，
即得到\(2x>3y\)
再比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[5]{5}\)，给两个式子同时10次方，
得到\((\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\)，\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\)，
故\(\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，
即得到\(5z>2x\)，综上得到\(3y<2x<5z\)
法2：(作差法)
\(2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\)，
故\(2x>3y\);
\(2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\)
故\(2x<5z\);
综上有\(3y<2x<5z\)。
法3：(作商法)
\(\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\)，故\(2x>3y\)；
\(\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\)，
故\(5z>2x\)；故\(3y<2x<5z\)。素材链接
\(\fbox{例5}\)已知\(a，b>0\)，且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值；
分析：引入正数因子\(k\)，
令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，
则由\(2+log_2a=log_24a=k\)，
得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；
由\(3+log_3b=log_327b=k\)，
得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；
由\(log_6(a+b)=k\)，
得到\(a+b=6^k\)；
则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)
\(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)
\(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)
\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)
\(=2^2\cdot 3^3=108\)