导数的概念和求导法则

导数的定义

1 设函数y=f(x)在点x₀的某一领域内有定义。当自变量x在点x₀处取得增量∆x，相应的函数有增量∆y=f(x₀ + ∆x) - f(x₀), 如果极限

在，则称函数f(x)在点x₀处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x₀处的导数，记为f^’(x₀).

2 导数f^’(x₀)反映了函数f(x)在点x₀处的变化率。
例如，导数可以计算变速直线运动在某一个时刻的瞬时速度；可以计算曲线在某一个点的切线斜率

导数的四则运算法则

定理：设u(x),v(x)在点x处可导，则u(x)+v(x)， u(x)-v(x)， u(x)*v(x)，u(x)/v(x)都在x点处可导，并且：
（1）[u(x) + v(x)]^’ = u^’(x) + v^’(x)
（2）[u(x) - v(x)]^’ = u^’(x) - v^’(x)
（3）[u(x) * v(x)]^’ = u^’(x) * v(x) + u(x) * v^’(x)
（4）[u(x) / v(x)]^’ = [u^’(x)*v(x) -u(x) * v^’(x)] / v²(x)

基本初等函数的导数公式

（1）( C )^’ = 0 (C为常数)
（2）( x^μ )^’ = μx^μ-1
（3）( a^x )^’ = a^x㏑a
（4）( e^x )^’ = e^x
（5）( ㏒_a^x)^’ = 1/(x*㏑a)
（6）( ㏑x )^’ = 1/x
（7）( sin(x))^’ = cos(x)
（8）( cos(x))^’ = -sin(x)
（9）( tan(x))^’ = sec²(x)
（10）( cot(x))^’ = -csc²(x)
（11）( sec(x))^’ = sec(x)*tan(x)
（12）( csc(x))^’ = -csc(x)*cot(x)

高阶导数

一阶导数的导数成为二阶导数。
二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数。
例如：变速直线运动中的速度v(t)是路程函数s(t)对时间t的导数，而加速度a(t)是v(t)对时间t的导数，同时也是s(t) 对t的二阶导数