贝叶斯滤波算法

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bayes filter是一种观测数据和控制数据中计算置信度的通用算法

1.Derivation of Bayes filter

先做一些符号说明

• z = observation
• u = action
• x = state
• $P(z|x)$ $\quad \;$观测模型(在状态x下观察到z的概率)
• $P(x|u,x')$ 运动转移概率(在x’状态下，执行了动作u之后，状态改变为x的概率)

关于公式数学推导有任何地方不懂可以点击这里,这里直接给出结论

$$Bel(x_{t}) = P(x_{t}|u_{1},z_{1},\dots, u_{t},z_{t}) \\= \eta P(z_{t}|x_{t})\,\underbrace{\int P(x_{t}|u_{t},x_{t-1})Bel(x_{t-1})dx_{t-1}}_{prediction\,before\, taking \,measurement}$$

$$\eta = \frac{1}{P(z_{t}|u_{1},z_{1},\dots,u_{t})}$$

这里的$\eta$是根据recusive bayes我自己推导的。

分为两部分

• Prediction step

$$\overline{Bel(x_{t})} = \int \underbrace{P(x_{t}|u_{t},x_{t-1})}_{motion\,model}Bel(x_{t-1})dx_{t-1}$$

• correction step

$$Bel(x_{t}) = \underbrace{\eta P(z_{t}|x_{t})}_{\quad sensor\,or \\ observation\,model}\overline{Bel(x_{t})}$$

2. Algorithm

我不是很理解为什么这里\eta是这样操作的，与我上面的推导不一样,很奇怪，我不是很理解,这里说\eta是一个归一化的参数，保证所有概率和为1

3. 形象化例子

3.1 机器人小萝卜

这一部分有一些细节我感觉是原文有问题，但是也可能是我理解错了，所以如果下面有一些不懂的地方，希望大家去看原文，也恳请给我留言，一起交流

有这么一个机器人小萝卜，可以沿着一维的路径运动，墙和这个一维路径是平行的，而且墙上开了几个门。

小萝卜装备了

• 检测门的传感器(sensor)
• 并且知道门在墙的那些位置
• 但是在开始前并没有先验置信度。
  如下图a

那小萝卜怎么确定自己的位置呢?

一， 小萝卜可以使用sensor检测自己是不是在门前面，由于sensor噪声和环境噪声的原因，会有以下几种种情况:
为了看着舒服，先声明一下符号

truth 表示小萝卜在门前
report 表示传感器的检测结果
id: in font of door
nd: not in font of door

(1). Truth–id, Report–id
小萝卜有很大程度确定自己在门前，所以门对应位置的置信度会变得很高，如下图b:
(2).Truth–nd, Report–nd;

原文有四种情况，鉴于其他两种我不会特别理解，这里只提一下其他两种情况真实世界出现的可能性不大，但能部分解释为什么有一些不在门前的位置，概率不为0,我自己理解就是噪声问题，但原文在这两种情况的论述我觉得是有一些我不太能理解的。

二， 小萝卜运动的时候会降低自己对于自己位置确定程度,因为小萝卜要走5米，但实际可能走了4.95米。换句话说小萝卜不可能直接绝对的知道自己到底移动了多少。所以置信度就会出现紊乱。如下图c

三， 小萝卜在第二个门前面测量。根据第一中也就是图a的先验概率，我们和这次的观测值z结合在一起我们更新我们额达置信度，所以在第二个们的x出现了置信度的一个峰值。如图d
四， 小萝卜再次运动，置信度再次出现紊乱

参考:

1. SLAM笔记三——贝叶斯滤波器
2. udacity
3. pdf摘要
4. pdf摘要2
5. 细说贝叶斯滤波
6. 无人驾驶高精度定位技术-递归贝叶斯滤波