算法思想：分治，动态规划，贪心

       有时候碰到某个编程题，一脸茫然，无从下手，那可能是因为题目问得很大，情况很多，单凭枚举法是解决不了问题的（数据量搞个几千几万啥的）。这时候就需要一个很重要的数学思想，需要牢记于心，必要时想到它，那就是：大问题解决不了，从小问题入手，看一看能不能从小问题慢慢扩展为大问题。数学上就有一个非常鲜明的例子叫数学归纳法。其实算法也是这样，毕竟计算机的世界也是离散的嘛！下面给出我对三种算法设计思想的理解。

 

1.分治 Divide and Conquar。如同名字所说，分开，逐一击破，最后征服。规模为n的问题，可以转化为两个n/2的问题，或许是转化为n-1与1的问题，亦或许是别的方式。这个思想的要点在于：

• 对于规模最小的问题是直接能给出答案的。（空集合啦，只有一个元素啦）

• 规模大的问题与规模小的问题具有类似的结构，因而可以同样处理，不断拆分成最小的可以直接解决的问题。

• 然后规模小的问题可以想办法合并成规模大的问题，这样不断拆分，拆分至最小并解决，然后不断合并，最后就解决了我们要处理的问题。

 

一个经典的例子是归并排序，也是把一个数组从小到大排序的问题，用上面要点描述就是：

• 如果数组只有一个元素，那就不用排序了，那就是数组本身。

• 一个数组可以拆分为两个数组（前一半与后一半），这两个数组分别进行排序处理。

• 合并，怎么把两个从小到大排好序的数组合并成一个数组呢？或许能够想到，每次比较两个数组开头的数字，把最小的拿出来，就能够完成合并。

这样，拆开，最小问题的解决，合并，最终，我们解决了这个问题！类似的问题有很多，比如快速排序，最大子序列和，选择第k大元素问题等等，大家参考任何一本算法书，多加思考。

 

2. 动态规划dynamic programming。 这类问题通常是询问最优解，比如说值最大啊，方法最省啊等等。大的问题当然不可能直接看出答案，那么我们不妨从小的问题入手？

于是，我们得到了动态规划思想的精髓：先解决小规模问题的最优解，然后逐渐增大问题规模，一般来说，大问题与小问题之间存在千丝万缕的关系（或者说大问题最优解的一部分就是小问题的最优解）然后，我们找到相关的递推公式，这样最终就能够解决大问题了！所以要点在于，保持小问题的解决记录，然后找到那个递推公式，处理好初始的情况，就是这么简单。

 

比如说，背包装物品的问题。我有n件物品，每件物品有重量wi与价值vi，我在背包重量存在上限B的情况下尽可能让背包物品价值最大。那么，我们不妨来分析一下：

• 首先只允许放第一件物品，简单，如果质量w1不超过B就可以放，获得价值v1，否则价值为0。那么只允许放前二件物品怎么办呢？我其实只有两个选择，不放第二件物品，那和上面讨论一样，放入第二件物品，此时背包重量上限只有B-w2了（如果能放下的话），价值则多了v2，这个问题依旧转化为了只允许放第一件物品的问题。 我们已经发现了递推公式！只要把这两种情况取个好的就行了。

• 一般的，我们只允许放前N件物品，第N件物品放入或是不放入，都会转化为前N-1件物品的问题（一个质量上限与价值不变，另一个质量上限减少wN，价值增加vN），我们只是挑选价值最大的方案进行记录，只要我们保持记录不同质量上限，只许放前N件物品的最大值，这样N不断增加，最后就解决了我们想要解决的问题！

简单来说，从小问题入手，记录小问题的答案，找到递推公式，这就是动态规划了。类似的还有找最短的路径，最长公共子序列问题等等，大家也不妨多找几个例子，尝试一下，其实不难。

 

当然了背包问题似乎还有一种直观的解决想法：每个物品单位质量的价值vi/wi不同，我不断想办法把性价比最大物品放进去就行了？没错，这也是一种算法设计思想，即贪心法(Greedy)，管什么拆分合并，管什么记录解找递推关系，我每一步都最贪婪，不就完了么？只可惜这种思想未必正确，比如装背包这个问题就不适用。然而有时候贪心法确实是一个简单粗暴，却又准确的算法。

比如如果上面背包所有物品价值都一样，那么贪心法就对了：把质量小的不断往背包里塞就行了。贪心法需要验证准确性，然而这就是一个复杂的故事了。

总结一下，其实就是这么一句话：大问题解决不了的时候，从小问题开始入手吧！