前言
一句话理解四种算法思想
- 分治：分而治之，先解决子问题，再将子问题的解合并求出原问题。
- 贪心：一条路走到黑，选择当下局部最优的路线，没有后悔药。
- 回溯：一条路走到黑，手握后悔药，可以无数次重来。(英雄联盟艾克大招无冷却)。
- 动态规划：上帝视角，手握无数平行宇宙的历史存档，同时发展出无数个未来。
分治算法
分治算法思想很大程度上是基于递归的，也比较适合用递归来实现。顾名思义，分而治之。一般分为以下三个过程：
- 分解：将原问题分解成一系列子问题。
- 解决：递归求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解。
- 合并：将子问题的结果合并成原问题。
比较经典的应用就是归并排序 (Merge Sort) 以及快速排序 (Quick Sort) 等。
public static void compose(int[] arr, int start, int end) {
int[] atmp = new int[end - start];
//获取中间的位置
int center = (start + end) / 2;
//要改变指针的话对指针作一个备份
int a = start, b = center, c = end;
//定义一些记录值（标记值）
int i = 0;
//做相应的处理，如归并中是将左边与右边的数据排序并组合到一起
while (a < center && b < end) {
if (arr[a] < arr[b]) {
atmp[i] = arr[b];
z += center - a;
b++;
} else {
atmp[i] = arr[a];
a++;
}
i++;
}
while (b >= end && a < center) {
atmp[i] = arr[a];
a++;
i++;
}
while (a >= center && b < end) {
atmp[i] = arr[b];
b++;
i++;
}
for (int j = 0; j < atmp.length; j++) {
arr[start + j] = atmp[j];
}
Arrays.toString(arr);
//有返回值的话将值返回
}
动态规划
虽然动态规划的最终版本 (降维再去维) 大都不是递归，但解题的过程还是离不开递归的。新手可能会觉得动态规划思想接受起来比较难，确实，动态规划求解问题的过程不太符合人类常规的思维方式，我们需要切换成机器思维。
使用动态规划思想解题，首先要明确动态规划的三要素。
动态规划三要素
- 重叠子问题
- 最优子结构
- 状态转移方程
实例：给定两个序列，找到两个序列中存在的最长子序列的长度。子序列是以相同的相对顺序出现的序列，但不一定是连续的.
public class LCS {
public static void main(String[] args) {
String s1 = new String("Hillfinger");
String s2 = new String("Hilfiger");
int n = s1.length();
int m = s2.length();
int[][] solutionMatrix = new int[n+1][m+1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
solutionMatrix[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
solutionMatrix[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int max1, max2, max3;
max1 = solutionMatrix[i - 1][j];
max2 = solutionMatrix[i][j - 1];
if (s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1)) {
max3 = solutionMatrix[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
max3 = solutionMatrix[i - 1][j - 1];
}
int tmp = Math.max(max1, max2);
solutionMatrix[i][j] = Math.max(tmp, max3);
}
}
System.out.println("Length of longest continuous subsequence: " + solutionMatrix[n][m]);
}
}
输出结果：
Length of longest continuous subsequence: 8
回溯法
一种选优搜索法，又称试探法。利用试探性的方法，在包含问题所有解的解空间树中，将可能的结果搜索一遍，从而获得满足条件的解。搜索过程采用深度遍历策略，并随时判定结点是否满足条件要求，满足要求就继续向下搜索，若不满足要求则回溯到上一层，这种解决问题的方法称为回溯法。
回溯法解求解问题步骤
- 针对给定问题，定义问题的解空间树；
- 确定易于搜索的解空间结构；
- 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
- 用回溯法求解问题，重点是设计问题的解空间树，其解题过程则是深度遍历解空间树的过程。
是依据待求解问题的特性，用树结构表示问题的解结构、用叶子表示问题所有可能的解的一棵树。
解空间树的形成过程
我们可以把求解问题的过程当作一系列的决定来考虑，回溯法对每一个决定都系统地分析所有可能的结果。而每一次决定即为解空间树中的一个分支结点，各种可能的结果便形成了各棵不同的子树，问题最终所有可能的解将展现在所有的叶子上。这便是解空间树的形成过程。
对解空间树的遍历可搜索到问题所有可能的解，因此，可获得满足要求的全部解，也可通过对所有解的比较选择获得最优解。
由于空间问题，下面给出一个三皇后问题的解空间树（3皇后问题无解），树中第i层的结点决定第i行皇后的摆放位置，均有三种不同的选择，便形成了三个孩子结点，但其中不包括不符合要求的布局。N皇后问题解空间树与三皇后问题解空间树类似。
求解N皇后问题的回溯法
N皇后问题要求求解在N*N的棋盘上放置N个皇后，并使各皇后彼此不受攻击的所有可能的棋盘布局。皇后彼此不受攻击的约束条件是：任何两个皇后均不能在棋盘上同一行、同一列或者同一对角线上出现。
由于N皇后问题不允许两个皇后在同一行，所以，可用一维数组X表示N皇后问题的解，X[i]表示第i行的皇后所在的列号。例如一个满足要求的四皇后棋盘布局如下图所示，其结果X数组的值为：[2， 4， 1， 3]。
由上述X数组求解N皇后问题，保障了任意两个皇后不在同一行上，而判定皇后彼此不受攻击的其他条件，可以描述如下：
（1）X[i] = X[s]，则第i行与第s行皇后在同一列上。
（2）如果第i行的皇后在第j列，第s行皇后在第t列，即X[i] = j和X[s] = t，则只要i-j = s-t或者i+j = s+t，说明两个皇后在同一对角线上。
对两个等式进行变换后，得到结论：只要|i-s| = |j-t|（即i-s = X[i]-X[s]），则皇后在同一对角线上。
解N皇后问题需要遍历解空间树，遍历中要随时判定当前结点棋盘布局是否符合要求，符合要求则继续向下遍历，直至判断得到一个满足约束条件的叶子结点，从而获得一个满足要求的棋盘布局；不符合要求的结点将被舍弃（称之为剪枝），并回溯到上一层的结点继续遍历。当整棵树遍历结束时，已获得所有满足要求的棋盘布局。
public class Queen {
public static int num = 0; // 方案数
public static final int MAXQUEEN = 8; // 皇后数
public static int[] cols = new int[MAXQUEEN]; // 定义数组，表示MAXQUEEN列棋子中皇后摆放位置
/*
* @param n:填第n列的皇后
*/
public void getCount(int n) {
boolean[] rows = new boolean[MAXQUEEN];
for (int m = 0; m < n; m++) {
rows[cols[m]] = true;
int d = n - m;
// 正斜方向
if (cols[m] - d >= 0) {
rows[cols[m] - d] = true;
}
// 反斜方向
if (cols[m] + d <= (MAXQUEEN - 1)) {
rows[cols[m] + d] = true;
}
}
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
if (rows[i]) {
// 不能放
continue;
}
cols[n] = i;
// 下面仍然有合法位置
if (n < MAXQUEEN - 1) {
getCount(n + 1);
} else {
// 找到完整的一套方案
num++;
printQueen();
}
}
}
private void printQueen() {
System.out.println("第" + num + "种方案");
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
for (int j = 0; j < MAXQUEEN; j++) {
if (i == cols[j]) {
System.out.print("0 ");
} else {
System.out.print("+ ");
}
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
Queen queen = new Queen();
queen.getCount(0);
}
}
贪心算法
贪心算法的基本思路：
- 建立数学模型来描述问题。
- 把求解的问题分成若干个子问题。
- 对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
- 把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
实例：假如老板要找给我99分钱，他有上面的面值分别为25，10，5，1的硬币数，为了找给我最少的硬币数，那么他是不是该这样找呢，先看看该找多少个25分的，诶99／25＝3，好像是3个，要是4个的话，我们还得再给老板一个1分的，我不干，那么老板只能给我3个25分的拉，由于还少给我24，所以还得给我2个10分的和4个1分。
public class zhaoqian
{
public static void main(String[] args)
{
int m[]={
25,10,5,1};
int n=99;
int[] num=new int[m.length];
num=zhaoqian(m,n);
System.out.println(n+"的找钱方案：");
for(int i=0;i<m.length;i++)
System.out.println(num<i>+"枚"+m<i>+"面值");
}
public static int[] zhaoqian(int m[],int n)
{
int k=m.length;
int[] num=new int[k];
for(int i=0;i<k;i++)
{
num<i>=n/m<i>;
n=n%m<i>;
}
return num;
}
}