算法的动态规划
思路途经
1、思考状态（重点）
状态的定义，先尝试「题目问什么，就把什么设置为状态」；
然后思考「状态如何转移」，如果「状态转移方程」不容易得到，尝试修改定义，目的依然是为了方便得到「状态转移方程」。
「状态转移方程」是原始问题的不同规模的子问题的联系。即大问题的最优解如何由小问题的最优解得到。
2、思考状态转移方程（核心、难点）
状态转移方程是非常重要的，是动态规划的核心，也是难点；
常见的推导技巧是：分类讨论。即：对状态空间进行分类；
归纳「状态转移方程」是一个很灵活的事情，通常是具体问题具体分析；
除了掌握经典的动态规划问题以外，还需要多做题；
如果是针对面试，请自行把握难度。掌握常见问题的动态规划解法，理解动态规划解决问题，是从一个小规模问题出发，逐步得到大问题的解，并记录中间过程；
「动态规划」方法依然是「空间换时间」思想的体现，常见的解决问题的过程很像在「填表」。
3、思考初始化
初始化是非常重要的，一步错，步步错。初始化状态一定要设置对，才可能得到正确的结果。
角度 1：直接从状态的语义出发；
角度 2：如果状态的语义不好思考，就考虑「状态转移方程」的边界需要什么样初始化的条件；
角度 3：从「状态转移方程」方程的下标看是否需要多设置一行、一列表示「哨兵」（sentinel），这样可以避免一些特殊情况的讨论。
4、思考输出
有些时候是最后一个状态，有些时候可能会综合之前所有计算过的状态。
5、思考优化空间（也可以叫做表格复用）
「优化空间」会使得代码难于理解，且是的「状态」丢失原来的语义，初学的时候可以不一步到位。先把代码写正确是更重要；
「优化空间」在有一种情况下是很有必要的，那就是状态空间非常庞大的时候（处理海量数据），此时空间不够用，就必须「优化空间」；
非常经典的「优化空间」的典型问题是「0-1 背包」问题和「完全背包」问题。
作者：liweiwei1419
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/zhong-xin-kuo-san-dong-tai-gui-hua-by-liweiwei1419/
来源：力扣（LeetCode）
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最长回文子串问题（第五题）
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
暴力解法
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
int len =s.length();
if(len < 2)
return s;
int max = 1; //回文子串的长度
int begin = 0;
for(int i = 0; i < len-1; i++){
for(int j = i+1; j < len; j++){
if( (j-i+1)>max && huiwen(s , i, j)){
begin = i;
max = j-i+1;
}
}
}
return s.substring(begin, begin+max);
}
public boolean huiwen(String s, int begin, int end){
//判断是否为回文子串
while(end > begin){
if(s.charAt(begin) == s.charAt(end)){
begin++;
end--;
}else
return false;
}
return true;
}
}
执行用时 :570 ms
内存消耗 :38.2 MB,
动态规划解法
先定义状态
Boolean dp[i][j]标志字符串s 从 i ~ j 是否为回文子串
状态转移方程
dp[i][j] = true 前提为 s.charAt(i)=s.charAt(j)且dp[i+1][j-1] = true
求其初状态
二维数组dp[][]对角线必为true，
考虑输出状态
代码优化
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
int len =s.length();
if(len < 2)
return s;
int max = 1;
int begin = 0;
boolean[][] dp = new boolean[len][len];//判断i~j是否为回文子串
for(int i = 0; i < len; i++)
dp[i][i] = true;
for(int j = 1; j < len; j++){
for(int i = 0; i < j; i++){
if(s.charAt(i) != s.charAt(j))
dp[i][j] = false;
else{
if(j - i <3)
dp[i][j] = true;
else
dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
}
if(dp[i][j] && j-i+1>max){
max = j-i+1;
begin = i;
}
}
}
return s.substring(begin,begin+max);
}
}
执行用时：144 ms
内存消耗：42.6 MB
中心扩散解法
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
int len =s.length();
if(len < 2)
return s;
int max = 1;
String res = s.substring(0,1); //输出字符串
for(int j = 0; j < len-1; j++){
//遍历中心点
String str1 = center(s,j,j);
String str2 = center(s,j,j+1);
String maxlen = str1.length() > str2.length() ? str1 : str2;
if(maxlen.length() > max){
max = maxlen.length();
res = maxlen;
}
}
return res;
}
private String center(String s, int left, int right){
//中心扩散判断回文
int i = left, j = right;
while(i >= 0 && j <= s.length()-1){
if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
i--;
j++;
}else{
break;
}
}
return s.substring(i+1,j);
}
}
执行用时：42 ms
内存消耗：40.2 MB