动态规划、回溯、贪心，分治

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动态规划篇

从斐波那契数列开始

我们先给出斐波那契数列的常用算法类

public class Fibonacci {
    private static int num = 0;
    private Fibonacci() {
    }
    public static int fib(int n) {
        num++;
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        num = 0;
        int n = 20;
        long start = System.nanoTime();
        int res = Fibonacci.fib(n);
        long end = System.nanoTime();
        System.out.println(res);
        System.out.println((end - start) / 1000000000.0);
        System.out.println(num);
    }
}

运行结果

6765
3.96599E-4
21891

此时我们调大n的值为40

运行结果

102334155
0.473162902
331160281

再调大n的值为42

267914296
1.302307318
866988873

我们可以看到此处随着n的增大，时间是几何倍数增长，由此我们可知斐波那契数列的时间复杂度为O(2^n)

但我们发现斐波那契数列的存在着大量的重复计算，如下图所示，我们来看计算一个n=5的时候都有哪些重复计算的地方

在这里我们可以看到3被计算了2次。

而2则被计算了3次，这还是n = 5的情况下，如果随着n值的增大，重复计算的次数就会越来越多。

所以我们给出了一个新的记录重复计算值不需要重新计算的斐波那契算法类

public class Fibonacci {
    private static int num = 0;
    private static List<Integer> memo = new ArrayList<>();
    private Fibonacci() {
    }
    //记忆化搜索
    public static int fib(int n) {
        num++;
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (memo.get(n) == -1) {
            memo.set(n,fib(n - 1) + fib(n - 2));
        }
        return memo.get(n);
    }

    public static void main(String[] args) {
        num = 0;
        int n = 42;
        for (int i = 0;i <= n;i++) {
            memo.add(-1);
        }
        long start = System.nanoTime();
        int res = Fibonacci.fib(n);
        long end = System.nanoTime();
        System.out.println(res);
        System.out.println((end - start) / 1000000000.0);
        System.out.println(num);
    }
}

这次我们再来计算n = 42，运行结果

267914296
4.2859E-5
83

由结果可知，当我们减少了计算次数，斐波那契算法的时间复杂度从O(2^n)一下子降到了O(n)级别，这就相当于我们在列表中命中了缓存，无需866988873次计算，而计算次数只降低到了83次。

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