（一） 群
简单的说，一个集合和在集合上满足某些性质的运算就构成了一个群。
群包含一个非空集合G和一个运算*，运算保持封闭性，即对于 ，有 ，并且元算*满足下述性质：
- 单位元：任取 ，存在 ,满足
- 逆元
- 结合律
如果*也满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群。
|G|或#G表示群中元素的数量。
（二） 环
群是在一个集合上定义了一种运算，环是在一个集合上定义了“加法”和“乘法”两种运算，并存在分配律将它们联系起来。
环R就是在一个集合上定义两种运算，分别用+，*来表示，并满足如下运算性质：
（1）加法
- 单位元
- 负元
- 结合律
- 交换律
（2）乘法
- 单位元
- 结合律
- 交换律
（3）加法和乘法之间满足分配律
通常，环中的定义不要求乘法运算具有单位元和交换律，但是格密码讨论中的换都具有单位元和交换律。
（三） 域
如果环R中的每个非零元都有乘法逆元，则称R为域。
（四） 向量空间
若 
的一个子集V满足
即V中加法和数乘运算封闭，则V是向量空间。
（五） 格
设 
为一组线性无关的向量。由 生成的格指的是向量 的线性组合构成的向量集合，且其所使用的系数均在整数集合Z中，即
