牛客OI赛制测试赛

昨天晚上打了一场很水很水的比赛，题目没有什么思维难度，总结一下经验吧：

_MistY

A

发现了一个结论：令斐波那契数列的 $f(1)=f(2)=1$，则有

$$f(n-1)f(n+1)-f(n)^2=\begin{cases} 1, & n\text{ & }1=0\\ -1, & n\text{ & }1=1 \end{cases}$$

利用归纳法证明：

首先，$n=2$ 时肯定是符合的，有 $f(k-1)f(k+1) - f(k)^2 = (-1)^k$，那么我们只需要证明 $n=k+1$ 时也符合。

$$\begin{eqnarray}f(k)f(k+2) - f(k+1)^2 &=&f(k)^2+f(k)f(k+1)-f(k-1)^2-2f(k-1)f(k)-f(k)^2\\ &=&f(k)^2+f(k-1)f(k)-f(k-1)^2-2f(k-1)f(k)\\ &=&f(k)^2-f(k-1)^2-f(k-1)f(k)\\ &=&f(k)^2-f(k-1)f(k+1)\\ &=&(-1)^{k+1} \end{eqnarray}$$

于是再来看看$\color{LightCoral}{卡西尼悖论}$……

卡西尼恒等式：$f(n-1)f(n+1) - f(n)^2 = (-1)^n$

但这个东西真的是对的吗？

经过验证后，这个悖论明显是错的，因为右图的两个三角形并不相似：一个是 $5:13$，一个是 $3:8$。

（学妹还剪纸验证了一下，拼不起来233）

C

数据随机……暴力可过。

E

最长不下降子序列的二分函数中，$l$ 应该从 $0$ 开始，
因为如果序列中没有小于等于 $x$ 的数，$x$ 应该放在 $l+1=1$ 的位置。

int find(int x) {
    int l = 0, r = len;
    while (l < r) {
        int mid = l + (r - l + 1 >> 1);
        if (d[mid] <= x) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

F

题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，你需要计算出所有长度为 $k$ 的子序列中，除最大最小数之外所有数的乘积相乘的结果，答案对 $1e9+7$ 取模。

很显然将原序列从小到大排好序后，答案应该为

$$\prod\limits_{i=2}^{n-1}a_i^{\binom{n-1}{k-1}-\binom{i-1}{k-1}-\binom{n-i}{k-1}}$$

但指数不可以直接取模，考虑模数是一个质数，有

而当 $p$ 不是质数的时候，我们有

$$a^b\equiv\begin{cases} a^{b\mod{\varphi(p)}}, &a \perp p \\ a^{(b\mod{\varphi(p))+\varphi(p)}}, &b\ge \varphi(p)\\ a^b, &b < \varphi(p) \end{cases} \pmod p$$

——扩展欧拉定理

考虑如何证明 $a^{(b\mod{\varphi(p))+\varphi(p)}}\ (b\ge \varphi(p))$，我们有

$$\begin{cases} x&\equiv&y&\pmod{m_1}\\ x&\equiv&y&\pmod{m_2}\\ &\vdots&\\ x&\equiv&y&\pmod{m_n} \end{cases}\Longrightarrow x \equiv y \pmod{lcm\{m_1,m_2,\cdots,m_n\}}$$

其中 $m_1\perp m_2 \perp \cdots \perp m_n$

假设模数 $m=p^k$（素数的幂），$b\ge \varphi(m)$，显然 $\varphi(m)\ge k$

若 $(a,p)=1$，那么 $a \perp m$，所以

$$a^b\equiv a^{(b\mod \varphi(m))+\varphi(m)} \pmod{m}$$

若 $(a,p)=p$，则 $a=\lambda p$，显然 $a^b$ 和 $a^{(b\mod \varphi(m))+\varphi(m)}$ 的指数均大于等于 $k$，所以

$$a^b\equiv 0 \equiv a^{(b\mod \varphi(m))+\varphi(m)} \pmod{m}$$

对于任意模数，均可唯一分解成若干素数的乘积，根据最上面的同余方程组可知，$a^{(b\mod{\varphi(p))+\varphi(p)}}\ (b\ge \varphi(p))$ 对任意 $p$ 成立。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 1005, P = 1000000007;
int C[N][N], a[N];

int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
void pre() {
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 1000; ++i) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % (P - 1);
    }
}
int pow(int a, int b) {
    int res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = 1LL * a * a % P)
        if (b & 1) res = 1LL * res * a % P;
    return res;
}

int main() {
    pre();
    int T = read();
    while (T--) {
        int n = read(), k = read(), ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
        if (n < 3) { puts("0"); continue; }
        std::sort(a + 1, a + n + 1);
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            ans = 1LL * ans * pow(a[i], ((C[n-1][k-1] - C[i-1][k-1] - C[n-i][k-1]) % (P - 1) + (P - 1)) % (P - 1)) % P;
        }
        printf("%d\n", (ans + P) % P);
    }
    return 0;
}

时间复杂度 $O(nlogn)$。