Dijkstra算法 ccf 201609-4 试题名称：交通规划

问题描述

　　G国国王来中国参观后，被中国的高速铁路深深的震撼，决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。
　　建设高速铁路投入非常大，为了节约建设成本，G国国王决定不新建铁路，而是将已有的铁路改造成高速铁路。现在，请你为G国国王提供一个方案，将现有的一部分铁路改造成高速铁路，使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达，而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。所有的城市由1到n编号，首都为1号。
　　接下来m行，每行三个整数a, b, c，表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。这条铁路不会经过a和b以外的城市。

输出格式

　　输出一行，表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。

样例输入

4 5
1 2 4
1 3 5
2 3 2
2 4 3
3 4 2

样例输出

评测用例规模与约定

　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 50；
　　对于50%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 5000；
　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 50000；
　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。

AC代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#define inf 0x7fffffff
#define maxn 10005
using namespace std;
class Node{
	public:
		int v;
		int cost;
		Node(int vv=0,int c=0){
			v=vv;
			cost=c;
		}
		//优先级队列将按距离从小到大排序
		friend bool operator<(Node n1,Node n2){
			return n1.cost>n2.cost;
		} 
};

// v表示边的另一端点，cost表示该边的权重
class Edge{
	public:
		int v,cost;
		Edge(int vv=0,int c=0){
			v=vv;
			cost=c;
		}
}; 
int n,m;
vector<Edge>G[maxn];   //无向图 
bool marked[maxn];	   //D算法中每个顶点仅处理一遍
int disto[maxn];		//出发点到某点距离
int costo[maxn];		//接通改点需要增加的边的权重
 
void dijkstra(int s){
	
//  堆优化的dijkstra 
//	1. 将与源点相连的点加入堆，并调整堆。
//	2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。
//	3. 处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点
//	1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。
//	2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。
//	4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。

	for(int i=0;i<=n;i++){
		costo[i]=disto[i]=inf;
		marked[i]=false;
	}
	costo[s]=0;
	disto[s]=0;
	priority_queue<Node>pq;//保存<v,disto[v]>且按disto[v]升序排列 
	pq.push(Node(s,0));
	marked[0]=true;
	
	Node tmp;
	while(!pq.empty()){
		tmp=pq.top();
		pq.pop();
		int v=tmp.v;
		if(marked[v])continue;
		marked[v]=true;
		int len=G[v].size();
		for(int i=0;i<len;i++){
			int vv=G[v][i].v;
			if(marked[vv])continue;
			int cost=G[v][i].cost;
			
			//判断已经算得的到另一个点的距离是否需要迭代，
			//即同现有点加上现有点到另一个点的消耗 比较 
			if(disto[vv]>disto[v]+cost){
				disto[vv]=disto[v]+cost;
				costo[vv]=cost;			//增加的内容
				pq.push(Node(vv,disto[vv])) ;
			}
			
			//增加的内容
			//加入点vv时若出现多种距离相同的方案，选取新边最小的那个
			if(disto[vv]==disto[v]+cost){
				costo[vv]=min(costo[vv],cost);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		G[a].push_back(Edge(b,c));
		G[b].push_back(Edge(a,c));
	}
	dijkstra(1);
	
	//统计边权重
	int res=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		res+=costo[i];
	} 
	cout<<res;
	return 0;
}

1、算法基础 dijkstra

迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。该算法复杂度为n^2,

2、dijkstra+heap 实现 http://moilk.org/blog/2016/10/27/ccf2016094/

我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出最短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。