用程序语言理解量子力学公式

我们看量子力学的时候，总是会被一些不太严谨的公式搞得一头雾水。里面包含了大量的简化让人摸不着头脑。下面我们试着把公式，用程序语言中“函数”的观点来重新理一理思路。我们会发现其中的含义一目了然：

无限空间的厄米性条件：

$$<\varphi|\hat{G}|\psi>=<\hat{G}\varphi|\psi>=<\psi|\hat{G}\varphi>^\ast$$ 可以表示成： $$\int \varphi \ast (x)\hat{G}|\psi > (x)dx=\int[\hat{G}\varphi (x)]\ast \psi (x)dx$$

我们会发现，上面的公式，如果按照函数的观点，是存在歧义的。为了叙述方便，这里补充一些基本知识：

• 符号$|\psi>$代表一个右矢量，为什么不用$\vec{\psi}$呢？因为向量$\vec{\psi}$可能是有限维的，而$|\psi>$可以是无限维，或者是一个函数。
• $\ast$号代表一个矢量的复共轭，所谓共轭简单的说就是一个复数虚部的反向。例如$a+ib$的共轭就是$a-ib$，以此类推。所以当$x=a+ib$的时候，那么$x^\ast=a-ib$，以此类推。细心读者会发现，有些书会把$\ast$号不写在变量的右上角，而写在变量的右边，例如$x\ast=a-ib$，个人感觉这样会和乘号混淆
• 符号$\hat{}$代表这是一个算符。以计算机程序的观点，这就是一个函数，给一个输入，它经过一系列运算，得出一个输出。所以，其实$\hat{G}$就是这么一个函数：def G(vector): ...处理逻辑...，而$|\psi>$就是这个函数的输入值。

所以，整个表达式理解起来是什么意思呢？

$$<\varphi|\hat{G}|\psi>=<\hat{G}\varphi|\psi>=<\psi|\hat{G}\varphi>^\ast$$
意思是：
$$\varphi^\ast \cdot \hat{G} ( \psi)=\hat{G}(\varphi) \cdot \psi=(\psi \cdot \hat{G}(\varphi))^\ast$$

对于算符的共轭，我们可以用一个$^\dagger$号（dagger [‘dægə]匕首、短剑）表示：

$$<\psi|\hat{a}^\dagger=(\hat{a}|\psi>)^\ast$$

对易算符，我们这么表示：

$$[\hat{q_l},\hat{p_l}]=i\bar{h}\delta_{ll'}$$
即：
$$[\hat{q_l},\hat{p_{l'}}]=\hat{p_{l'}}\hat{q_l}-\hat{q_l}\hat{p_{l'}}=i\bar{h}\delta_{ll'}$$