（一）经典物理不能解决的问题
1.黑体辐射
黑体辐射的能量密度与辐射的波长相关，可以写成：
\[ρ(E)=f(\lambda) \]
不少物理学家对其定量公式作了分析，但或多或少出现了问题，最后由普朗克提出了能量子假设才得以解决：
\[E=hv=\frac{hc}{\lambda} \]
| 相关学者 | 理论 | 与实验数据比较 |
|---|---|---|
| 维恩 Wien | 热力学 | 长波部分误差较大 |
| 瑞利 Rayleigh 金斯 Jeans |
经典电动力学 统计物理学 |
"紫外灾难" |
| 普朗克 Planck | 能量子假设 | 与实验符合较好 |
2.光电效应
爱因斯坦（Einstein）首先提出了光量子论，认为光子具有粒子性。光量子的能量与普朗克的能量子相同。当电子吸收光量子时：
\[E_e=\frac{1}{2} m_e v_e^2=hv-W_0 \]
其中W0为逸出功，只有光量子能量大于该值才产生光电流，而与光强无关。
后来康普顿（compton）散射实验也证明了这个结论：当光子与电子碰撞后，动量下降，从而能量下降，由此频率下降，波长边长：
\[p\downarrow\overset{E=m_0^2v^4+p^2c^2}{\implies}E\downarrow\overset{E=hv}{\implies}v\downarrow\overset{\lambda=\frac{c}{v}}{\implies}\lambda\uparrow \]
3.氢原子光谱
氢原子光谱的波长并非连续谱，而是遵循如下的公式：
\[v=R_\infin(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}) \space \space\space\space n'=n+i \space\space n,i\in Z^+ \]
其中R∞为里德堡常数：
\[R_\infin=\frac{m_e e_s^4}{4\pi \hbar^3 c}\space\space[e_s=\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}] \]
玻尔提出了轨道量子化理论来解释这个问题，在这个条件下电子将在特定轨道运行，且通过跃迁放出特定波长的光子：
\[\vec{L}=\oint\vec{p} d \vec{r}=mh \space\space m\in Z \\ \space \\ v=\frac{|E_n-E_m|}{h} \]
后来索末菲（Sommerfeld）将这个量子化条件进一步总结为：
\[\oint p d q =(n+\frac{1}{2})h\space\space n\in Z^+ \]
其中p为广义动量，q为广义坐标。
（二）微粒的波粒二象性
德布罗意（De Brogile）提出了物质波的概念：除光以外，微粒也有波粒二象性，其波形式为自由粒子平面波：
\[\Psi=e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E\cdot t)} \]
其德布罗意波长为：
\[\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mE}}(非相对论) \]
例如被电压U加速的电子，有：
\[\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}=\frac{12.26}{\sqrt{U}} \space\space\space\space \sqrt{V}\cdot\text{\AA} \]
当U大约为150V时，波长约为1Å，相当于晶格常数的量级。后来戴维孙（Davission）和革末（Germer）利用电子衍射实验证明了电子具有波动性。（另外还有Tompson和Reid，前者和戴维孙因此共同获得了诺贝尔奖）