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最小生成树-Kruskal(克鲁斯卡尔)算法
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简述生成树：
生成树：
给定一个无向图(顶点间连线不带方向)，如果它任意两个顶点都联通并且是一棵树，那么我们就称之为生成树(Spanning Tree)
最小生成树：
如果是带权值的无向图，那么权值之和最小的生成树，我们就称之为最小生成树(MST, Minimum Spanning Tree)
应用：
最小生成树广泛应用于城市间道路建设的优化，通信网络最优铺设等，将网络站点或者城市看成无向图中的顶点，把每条道路、网线的成本作为权值，从而计算出建设的最小成本
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MST实现算法-Kruskal
算法思想：
Kruskal 是基于贪心的最小生成树实现算法，通过将所有边的权值排序，按从小到大的顺序取出，如果边的端点不属于同一个集合（未联通，该道路需要建设），那么将这两个端点所属的两个集合合并（建设道路后，端点联通），直到所有点属于一个集合为止
算法基础：
为了高效查取端点的集合归属，用到了并查集，可以说 Kruskal是基于并查集的贪心算法
并查集传送门：数据结构-并查集
算法流程：
a.起始时每个顶点作为单元素集合
b.对所有边按权值（成本）进行排序
c.按小到大顺序，取出边（u，v），如果u v 不属于同一集合，将u，v 所属集合合并
d.重复c，直到所有边遍历完，或者所有顶点连通：假设有m个点，合并的边数n，最优连通的充要条件 n=m-1
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Kruskal模板
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 105
struct Road //边
{
int Begin;
int End;
int Price;
bool operator<(Road b)const
{
return this->Price<b.Price;
}
};
Road Road_List[MAX_SIZE];
int Village[MAX_SIZE]; //顶点
int Rank[MAX_SIZE]; //记录高度
void Init(int n) //初始化
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
Rank[i]=0;
Village[i]=-1;
}
}
int Find(int x) //查找根
{
int root=x;
while(Village[root]!=-1)
root=Village[root];
while(x!=root) //将间接连在根上的结点改成直接连于根，提高查找效率
{
int temp=Village[x];
Village[x]=root;
x=temp;
}
return root;
}
int Combine(int a,int b)
{
int a_root=Find(a);
int b_root=Find(b);
if(a_root==b_root) //属于同一集合，不做操作
return 0;
//合并
if(Rank[a_root]<Rank[b_root]) //树a_root 比b_root矮，放置在b下
Village[a_root]=b_root;
else
{
Village[b_root]=a_root; //...
if(Rank[a_root]==Rank[b_root]) //两树一样高时，合并后a树会变高
Rank[a_root]++;
}
return 1;
}
int Kruskal(int n,int m) //n为边总数，m为顶点总数
{
int Road_Num=0; //已合并的边数
int Min_Cost=0; //最低总成本
sort(Road_List+1,Road_List+n+1);
for(int i=1;i<=n&&Road_Num!=m-1;i++)
{
if(Combine(Road_List[i].Begin,Road_List[i].End)) //边两端顶点还未连通
{
Min_Cost+=Road_List[i].Price;
Road_Num++;
}
}
if(Road_Num<m-1) //Road_Num<m-1 给定的边数无法满足将所有顶点连通
return -1;
else
return Min_Cost;
}
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基础题练手：
最小生成树(Kruskal)POJ 1258 Agri-Net
最小生成树(Kruskal)HDU 1863-畅通工程
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参考文章：