题目信息
现有学校宿舍区之间要铺设光纤建设网络,在施工预算的统计数据表中,列出了有可能建设光缆的若干条管线的成本,求使每栋楼都能够接入校园网且使管网建设费用成本最低。
输入
第一行数据包括楼宇的数目正整数N(≤1000)
和候选管网数目M(≤3N)
;
随后的M行对应M条线路,每行给出3个正整数,分别是该条线路直接连通的两个楼宇的编号以及预算成本(为简单起见,城镇从1到N编号)。
输出
输出建设楼楼通需要的最低成本。如果输入数据不足以保证畅通,则输出−1,表示需要建设更多的通路。
测试样例
测试样例1
6 15
1 2 5
1 3 3
1 4 7
1 5 4
1 6 2
2 3 4
2 4 6
2 5 2
2 6 6
3 4 6
3 5 1
3 6 1
4 5 10
4 6 8
5 6 3
12
测试样例2
6 15
1 2 5
1 3 3
1 4 7
1 5 4
1 6 2
2 3 4
2 4 6
2 5 2
2 6 6
3 4 6
3 5 10
3 6 1
4 5 10
4 6 8
5 6 3
14
测试样例3
7 9
1 2 10
1 3 30
2 3 50
1 4 30
1 5 100
3 5 10
3 4 20
4 5 60
6 7 10
-1
解答
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int x;
int y;
int cost;
};
node road[5005];
struct Rule
{
bool operator()(const node &A, const node &B) const
{
return A.cost < B.cost;
}
};
int tree[1010];
int n, m;
void init()
{
//每个人的开头都是自己
for (int i = 0; i <= n; i++)
tree[i] = i;
}
int find(int t)
{
//来查找每个点的开头节点
if (tree[t] == t)
{
//自己就是自己的开头说明还没有用过
return t;
}
else
{
//如果不想等的话就不断递归下去去找开头的节点
return tree[t] = find(tree[t]);
}
}
int judge(int x, int y)
{
//判断是否成环,不成环则返回1
int a = find(x);
int b = find(y);
if (a != b)
{
//ab点的开头节点不在一起
tree[a] = b;//那么将a的开头设置为b
return 1;
}
else
{
return 0;
}
}
void kruskal()
{
int side = 0;//选出的边数
int sum = 0;//总的开销
init();//初始化
sort(road, road + m, Rule());//排序
for (int i = 0; i < m; i++)
{
if (judge(road[i].x, road[i].y))
{
side++;
sum += road[i].cost;
}
if (side == n - 1)
{
//已经选够了
break;
}
}
if (side != n - 1)
{
//选不出n-1条边,则无法构成最小生成树
cout << "-1" << endl;
}
else
{
cout << sum << endl;
}
}
int main()
{
//freopen("/Users/zhj/Downloads/test.txt", "r", stdin);
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> road[i].x >> road[i].y >> road[i].cost;
}
kruskal();
return 0;
}
想法
本题的核心考察点是最小生成树
整体思路:采用全局贪心的 kruskal 克鲁斯卡尔算法。先对所有的成本从小到大进行排序,每次从中选一条未被选取且成本最小的边,若此条边与之前选择的边不构成环,则将此边加入图中并计算开销,否则舍弃这条边而选择下一条成本最小的边。判断这条边与之前加入的边是否成环,借助并查集来进行判断。
最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边,构成一棵极小连通子图,并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小,则称其为连通网的最小生成树。
例如,对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
kruskal克鲁斯卡尔算法
是用来求加权连通图的最小生成树的算法
基本思想
按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法
首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止。
以上图为例,对克鲁斯卡尔演示
- 第1步:将边(E,F)加入R中。
边(E,F)的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。 - 第2步:将边(C,D)加入R中。
上一步操作之后,边(C,D)的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。 - 第3步:将边(D,E)加入R中。
上一步操作之后,边(D,E)的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。 - 第4步:将边(B,F)加入R中。
上一步操作之后,边(C,E)的权值最小,但(C,E)会和已有的边构成回路;因此,跳过边(C,E)。同理,跳过边(C,F)。将边(B,F)加入到最小生成树结果R中。 - 第5步:将边(E,G)加入R中。
上一步操作之后,边(E,G)的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。 - 第6步:将边(A,B)加入R中。
上一步操作之后,边(F,G)的权值最小,但(F,G)会和已有的边构成回路;因此,跳过边(F,G)。同理,跳过边(B,C)。将边(A,B)加入到最小生成树结果R中。 - 此时,最小生成树构造完成!它包括的边依次是:
(E,F) (C,D) (D,E) (B,F) (E,G) (A,B)
。
判断连通
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法,我们能够了解到,克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下问题:
将边添加到最小生成树中时,怎么样判断是否形成了回路。
处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点,后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明:
在将(E,F) (C,D) (D,E)加入到最小生成树R中之后,这几条边的顶点就都有了终点:
- C的终点是F
- D的终点是F
- E的终点是F
- F的终点是F
关于终点,就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此,接下来,虽然(C,E)是权值最小的边。但是C和E的重点都是F,即它们的终点相同,因此,将(C,E)加入最小生成树的话,会形成回路。这就是判断回路的方式。