第八讲--图以及最小生成树
复习
1.树有哪几种表示方法
2.树、森林、二叉树之间转换中左右孩子的定义
3.54 32 47 49 51 48构造二叉排序树，并删除47，然后计算成功和失败的平均查找长度。
4.a:30 s:31 b:20 c:10 x:3 q:7 d:6 构造哈夫曼树并计算WPL
5.为什么哈夫曼树中没有一个码是其他码的前缀
6.n个结点构造哈夫曼以后，有多少个结点
一、图
1.1 图的一些定义
图一般可以分为有向图和无向图（树可以是空树，但是图不能是空图）。有向图也就是图中的边是有方向的，边集合一般是E={<1,2>,<2,1>,<3,1>}。无向图最也就是图中的边是没有方向的，边集合一般是E={<1,2>,<3,2>,<3,1>}
（定义可以看书上，没什么好讲的）。
1.什么是完全图。含有n个顶点的无向完全图有几条边？
2.什么是连通图，什么是极小连通子图，什么是极大连通子图，这是针对有向图还是无向图。
3.什么是强联通图，什么是强联通分量，这是针对有向图还是无向图
4.如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，那么这个图是连通的还是不连通的？
5.连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。也就是用最少的边把所有顶点连起来，那么最小的边数是多少（如果有n个顶点）。
6.顶点的度，针对有向图是什么概念，针对无向图是什么概念。
7.无向图全部顶点的度之和和边数的关系是什么
1.2 图的存储结构
图主要的有两种存储结构，邻接矩阵和邻接链表（十字链表等那些野路子就不要记了）。看过书可能感觉得到，最近学到的线性表、栈、队列、树的存储结构一般都是由两种，一种是用数组存，一种是用链表存。
举个栗子：
我们有如下关系：唐僧认识猴哥，猴哥认识玉皇 ，猴哥认识阎王，如来佛祖认识玉皇。
我们一共出现了唐僧、猴哥、玉皇，阎王，如来五个人。
图也是如此，领接矩阵就是数组，只不过是二维数组，领接链表就是链表，只不过一个结点一个链表。
先看下领接矩阵：
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef struct
{
char vexs[MAX_VERTEX_NUM];//点集
int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //边集
int vex_num,arc_num;
}MGraph,*Graph;很简单，arcs[2][3] 就是存的第3个结点和第4个结点（下标从0开始），当结点没有权重这些东西时候（权重在最小生成树和最短路里面用到），arcs[2][3] = 1表示 第3个结点和第4个结点是连通的，如果是无向图的话，必还有arcs[3][2] = 1。有向图的话就可以反向没有。
这是一个无向图，A认识B，肯定有B认识A（假设不存在A是你，B是王力宏，这种你认识他，他不认识你的情况）。主对角线都是0，这是我们的规定，方便统计。
再看下领接链表:
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MaxVex 100
typedef struct EdgeNode //边表结点
{
int adjvex; //邻接点域，存储邻接顶点对应的下标
EdgeType weight; //用于存储权值，对于非网图可以不需要
struct EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode //顶点表结点
{
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge; //边表头指针
}VertexNode,AdjList[MaxVex];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges; //图中当前顶点数和边数
}GraphAdjList;
这个就比较麻烦了，考试不会考这些~看看就行，主要说下邻接链表的一些概念：
领接表需要一个存结点的地方，和存边的地方，好的一点是邻接表里面边是增加一个边才扩展一个空间的，就不会像邻接矩阵一样一开始就把所有可能存在的边的空间申请好，因此对于稀疏矩阵，用邻接链表存储会比较好。那么在有N个边的情况下（有向图里面1->2 2->1算两条边，无向图算一条边），无向图所需存储空间为O（|V| + 2|E|）（无向图一条边需要存两次）,有向图所需存储空间为O（|V| + |E|）
1.3 图的遍历
二叉树的遍历一般有四种（前序，中序，后序，层序)。因为图中和一个结点连接的其他结点之间没有顺序关系，所以图的遍历可以分为深度优先遍历（DFS，相当于二叉树的前中后序遍历）和广度优先遍历（BFS，相当于二叉树的层序遍历）。
这两个代码不太会考，主要考给一个图，能不能把这两种遍历写出来，这里我们也把这两个遍历的代码贴上来，感兴趣的可以看看：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<iostream>
#define Max 9999999
using namespace std;
int Graph[100][100];
int visit[100];
int n,m;
void InitGraph()
{
for(int i = 0;i<n;i++)
{
for(int j = 0;j<n;j++)
{
if(i == j)
Graph[i][j] = 0;
else
Graph[i][j] = Max;
}
}
}
void DFS(int v)
{
printf("%d ",v);
visit[v] = 1;
for(int i =1;i<=n;i++)
{
if(visit[i] == 0)
DFS(i);
}
}
int main()
{
int a,b,v;
queue<int> q;
scanf("%d",&n);
InitGraph();
scanf("%d",&m);
for(int i= 0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
Graph[a][b] = v;
Graph[b][a] = v;
}
memset(visit,0,m*sizeof(int));
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
if(visit[i]==0)
{
DFS(i);
}
}
printf("\n");
memset(visit,0,(m+1)*sizeof(int));
//下面是用到队列的层序遍历
q.push(1);
visit[1] = 1;
while(!q.empty())
{
int t = q.front();
printf("%d ",t);
q.pop();
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
if(visit[i] == 0 && Graph[t][i] != 0 && Graph[t][i]!=Max)
{
q.push(i);
visit[i] = 1;
}
}
}
printf("\n");
return 0;
}
我们主要练习一下这两个遍历的结果：
遍历时候，我们需要规定遍历的起始点，这里我们定为0，（同一个结点连接的两个结点，按照编号小的先遍历，这是一般规矩，不按这个规则也不能算错）这是一个有向图。
深度遍历结果为：0,1,3,5,2,4
广度遍历结果为：0,1,2,3,5,4
如果是无向图呢？
深度遍历结果为：0,1,3,4,5,2
广度遍历结果为：0,1,2,3,5,4
1.4 判断一个图是否是连通的
通过任何一个结点，都可以找到其他所有的结点，这样的图就是连通的。判断连通时候，可以弄一个表，类似图的领接矩阵一样，如果连通就画个对号，最后如果除去主对角线元素以外，都有对号就说明是连通的。
二、最小生成树（必考大题）
前面的多是概念，看看书应该能懂。最小生成树是必考大题。我当初学的时候，老是把最小生成树和最短路弄混，尤其最小生成树又一般分为Kruskal和Prim两种算法，最短路又有Dijkstra算法。就感觉很混，我在把最短路讲完以后，对这俩东西做一个对比。
最小生成树的意思是，现在处于祖国刚刚成立，国家还不是很富有，但是我们又希望走社会主义现代化道路，带领人民实现共同富裕，俗话说要致富先修路，我们国家准备修一个铁路网，连接祖国各地的主要城市，也就是图中的这几个城市。不同城市之间，修铁路所要花费在图中标明了（武汉到北京是1块钱......西安到拉萨是3块钱）。因为我们还很穷，不能把这些铁路都修好，只能修最少的铁路，花最少的钱，使得每个城市都能到达另一个城市。那么最少修几条铁路？一共花多少钱？
Prim算法，这是一个没有大局观念的拓荒者，
1.他总是会从一个结点开始，作为他率先征服的领地，然后每次看看当前能修的铁路里面，哪个铁路造价最小（铁路的一端是拓荒者所处的位置A，另一端是还未能抵达的城市B），最小的我们就修，然后把B加入拓荒者所征服的版图内。
2.更新拓荒者能够拓荒的铁路造价表，因为新加入的B->C，他有可能会比A->C的造价小，所以需要更新。
3.重复1-2直到没有新的领地。
比如，最开始我们把北加入到征服的领地中，然后更新铁路造价表，发现武的造价最低（红色的），然后把武加入到已征服的领地中，更新铁路造价表（因为武汉可以达到拉萨和福州，而且比原来的造价小，所以更新）。这样一直做下去就好了。
有一个问题是，图中绿色的部分，我们知道北京到西安的造价是6，武汉加进来以后，武汉到西安的造价也是6。那么我们最后修的到底是北京到西安的路呢还是武汉到西安的路呢？这就说明，最小生成树的结果不止有一种。考试也会考把所有的可能画出来（这里起始点是告诉了且是固定的）。
可以看到Prim算法，只在乎当前的利益，每次都管当前的最小，最后达到全局最小，这也就是贪心的基本思想，其得到的结果是局部最优。
Kruskal算法，这是一个有大局观念的规划者
1.将所有的边的造价进行排序，1,2,3,4,5,5,6,6,6,6。
2.看一下，当前最小的边的两个结点是不是连通的，如果不是连通的，就把这个边加进来，然后这两个点设置为连通。
如果是连通的，看检查下一条边
3.直到所有边都检查完。
这里检查连通性，我们需要用到并查集算法，这是算法书里讲到的东西，建议可以把这个东西弄懂，有一个博客讲的非常清楚，看一看绝对懂，我整个写这一系列博客的灵感也来源于这篇博客：并查集。我就不再这篇博客面前班门弄斧了~。大家可以看看这个，说不定你会爱上算法~
最后绿色说明，这时候这四条边都可以选择。之所以在第四步->第五步时候，为什么不考虑造价为5的结点？因为北京-青岛和武汉-青岛，之前就是可以到达的，所以不能加造价为5的结点。
最后，Kruskal的结果有4种~