大话西游之王道考研数据结构第十讲---查找

复习

prim、kruskal、dijkstral复杂度分别是多少？
如何判断一个图是连通的？DFS遍历一次输出的是图中什么内容？
无向图中删除某个顶点的复杂度是多少（用邻接链表存）？
是什么造成拓扑排序不唯一？
关键路径的五个函数都应该怎么求？

一、查找

查找其实对我们来说并不陌生，我们在线性表中学过查找某个元素的复杂度是多少（顺序表示是多少，链式表示是多少？），我们之前也学过二叉排序树，二叉排序树的构建其实就是为了更方便的动态查找（二叉排序树的查找复杂度是多少？）。这里我们将系统的学习所有的查找方式。

在数据集合中寻找满足某种条件的数据元素的过程称为查找。查找的结果一般分为两种，查找成功和查找失败（还记得我们在二叉排序树里面，计算了两种平均查找长度 ASL成功和ASL失败,还记的ASL失败是怎么计算的么？）。

1.1 顺序查找

这个其实就是线性表的查找方式，

int Search_Seq(int a[],int n, int key){
    for(int i =0;i<n;i++){ //下标从0开始
        if(a[i] == key)
            return i;
    }
    return -1;

}
int Search_Seq(int a[],int n, int key){
    //a数组下标从1开始，这时候我们可以把a[0]利用起来
    a[0] = key;
    for(int i = n;a[i]!=key;i--){ //下标从0开始
    return i;

}

这里提供两种查找代码，第一种是我们一般采用的方式，第二种是书上提供的更骚的套路。第二种理解下这么妖娆的操作是怎么实现的。二者在复杂度上面没有变化，但是代码执行次数上面，第二种更快一点（就像 3*n 和 2*n 的复杂度都是n一样）。下面的ASL都是按照第二种查找方式计算的

ASL_成功 = （n+1）/2;

（假设每个元素查找概率相同，第一个元素查找1次第n个元素查找n次，总共查找 ((1+n)*n/)2,平均的话再/n就好了）

ASL_失败 = n+1

（因为查找失败时候，我们需要查找到第0个元素，所以总共对比的元素有n+1个，如果按照第一种方式，查找失败是多少？，考试时候，正确答案是第二种的查找，第一种就不要记了，这里加上第一种只是为了更深刻的理解查找失败长度计算过程）

1.2 有序表的顺序查找

我们待查找的序列是有序的，假设是递增有序，这就相当于，二叉排序树里面只有左结点了。这时候查找成功和失败就是二叉排序查找成功和失败的方式：
ASL_成功 = （n+1）/2;

ASL_失败 = (1+２+3+...+n+n)/n = n/2 + n/(n+1)

有序查找可以是顺序表示，也可以是链式表示

1.3 二分查找（也是折半查找）

它和顺序查找一样，也要求查找表示有序的，但是它只适用于顺序表，因为他需要找到查找表里面，中间的元素，如果是链式表的话，这样找到中间元素都是O(n),而顺序表示是O(1)。所以只适用于顺序表。

其核心思想和高中学的最小二乘法逼近函数答案差不多，待查找的查找表a的区间是[l，r]，最中间的是mid = (l+r)/2 我们看下a[mid]和要查找的元素大小比较，如果小的话，说明应该落在[mid+1,r]里面，如果大的话因该落在[l,mid-1]里面，如果相等的话直接输出

void Binary_Find(int t,int n)
{
    int l = 1;
    int r = n;
    int mid;
    while(r>=l)
    {
        mid = (l+r)/2;
        if(a[mid]<t)
        {
            l = mid+1;
        }
        else if(a[mid]>t)
        {
            r = mid-1;
        }
    }
    a[r+1] = t;
}

二分查找的图表示其实就是一颗平衡二叉树

$ASL = (1/n)(1*1 + 2*2 + 4*3 +...+h*2^{h-1}) = ((n+1)/n)log_2(n+1)-1 \approx log_2(n+1)-1$