大话数据结构学习笔记 - 图的最小生成树之`Kruskal`算法

`Kruskal`算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法

大话数据结构定义

假设 $N = (V, \{E\})$ 是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图 $T = \{V, \{\}\}$ 。图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则社区此边而选择下一条代价最小的边，以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

基本思想

按照权值从小到大的顺序选择n - 1条边，并保证这n - 1条边不构成回路

具体做法

首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成过一棵树为止

`Kruskal`算法图解

Graph_prim_G4

以上图G4为例，使用克鲁斯卡尔算法进行演示实现最小生成树，用parent表示

Graph_prim_G4_kruskal_details

第零步：将邻接矩阵转换为边表数组，并且按权值大小排序

第一步：将边 $<E, F>$ 加入最小生成树中

边 $<E, F>$ 的权值最小，故将其加入最小生成树

第二步：将边 $<C, D>$ 加入最小生成树中

上一步操作后，边 $<C, D>$ 的权值最小，故将其加入最小生成树

第三步：将边 $<D, E>$ 加入最小生成树中

上一步操作后，边 $<D, E>$ 的权值最小，故将其加入最小生成树

第四步：将边 $<B, F>$ 加入最小生成树中

上一步操作后，边 $<C, E>$ 的权值最小，但边 $<C, E>$ 会和最小生成树中的已有边构成回路，故跳过。同理，跳过边 $<C, F>$

第五步：将边 $<E, G>$ 加入到最小生成树中

上一步操作后，边 $<E, G>$ 的权值最小，故将其加入到最小生成树中

第六步：将边 $<A, B>$ 加入到最小生成树中

上一步操作后，边 $<F, G>$ 权值最小，但会和已有边构成回路，跳过。同理跳过边 $<B, C>$ 。将边 $<A, B>$ 加入

此时，最小生成树构造完成，含有的依次为 $<E, F> <C, D> <D, E> <B, F> <E, G> <A, B>$

`Kruskal`算法要点

对图的所有边按照权值大小排序

此问题可通过代码实例理解
将边添加到最小生成树中，如何判断是否形成回路

通过记录每个顶点在最小生成树中的终点。终点即在最小生成树中与它连通的最大顶点。每次添加一条边到最小生成树中时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合则构成回路。

在将 $<E, F> <C, D> <D, E>$ 加入到最小生成树中后，这几条边的顶点就都有了终点
- C的终点是F
- D的终点是F
- E的终点是F
- F的终点是F
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是”与它连通的最大顶点”。虽然边 $<C, E>$ 权值最小，但终点都是F，故会形成回路

`Kruskal`算法代码

`Edge`边集数组结构

typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;

算法

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int k = 0;
    int parent[MAXVEX];  /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
    Edge edges[MAXEDGE];  /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */

    /* 用来构建边集数组并排序********************* */
    for(i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
    {
        for(j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            if(G.arc[i][j] < INF)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    sort(edges, &G);
    /* ******************************************* */

    printf("打印最小生成树：\n");

    for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
        parent[i] = 0;  /* 初始化数组值为0 */

    for(i = 0; i < G.numEdges; i++)  /* 循环每一条边 */
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        m = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m)  /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        {
            parent[n] = m;  /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 表示此顶点已经在生成树集合中*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }

}

算法源码

邻接矩阵源码

参考资料

大话数据结构
Kruskal算法(一)之 C语言详解