第六讲--二叉树的遍历和线索化二叉树
复习：
1.树中结点个数和度数的关系？
2.二叉树中，度为0的结点个数和度为2的结点个数
之间的关系？
3.编号为i的结点，父亲结点编号是多少，左孩子和右孩子分别是多少？
4.满二叉树第k层上，最左面那个结点的编号是多少？最右面那个结点编号是多少？
一、二叉树的遍历的方式
所谓二叉树的遍历，是指按某条搜索路径访问树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。
比如，我们想知道世上有哪些神仙，最大的是如来，其次可以分为天上一派（最大太上老君），地下一派（最大阎王爷），我们只需要把如来，天上那一派，地下那一派都输出了，就知道有哪些神仙了。
而天上那一派里面，又大致分两派，我们只需要把玉皇大帝 和那两派都输出了，天上那一派就知道有些谁了。
地上也是如此。
很明显，这是一个递归的形式，但是到底先输出天上那一派呢，还是如来，还是地下那一派呢？
因此。我们有三种不同的输出方式~（先不考虑层序）。
我们要想输出上述的二叉树，容易想到是的采用递归的形式，我们可以：
1.输出当前结点N，2.输出当前结点的左结点L，3.输出当前节点的右结点R
对于每一个结点都这样做，当然如果没有左结点或者右结点我们就不输出了。
可以看到，我们其实可以对1,2,3随意的排序（前提是先输出L，然后输出R，所以也就是什么时候输出N的问题了）。这样的输出结果一般是不同的。不同的排序方式代表着不同的遍历方式，可以有：NLR（N在最前面，也就是1->2->3）,LNR（N在中间,也就是2->1->3）,LRN(N在最后面，也就是2->3->1)。
当然，我们还有层序遍历，这就有点类似图中的广度优先搜索了。按照层的有小到大，每一层从左到右输出。
(这次内容比较严肃，我就不讲西游记了~）
二、二叉树遍历构建
1.老规矩，我们先简绍一下结构体
typedef struct BiTNode
{
char data; //用来存放内容
struct BiTNode *l_child,*r_child; //左孩子，右孩子
}*BiTree;2.CreatBitree(&T),这里采用的是先序遍历的顺序，以递归的方式进行创建
void CreatBitree(BiTree &T)
{
//我们创建的时候，采用的是先序遍历的顺序进行创建
char data;
scanf("%c",&data);
if(data == '#') //这个标记表示当前结点为空
//也就是假如某个结点A的左孩子是空的话，在下面先创建A，然后需要CreatBitree(T->l_child)去创建左孩子
//然后进入到这里，输入的内容是#，它就直接把A的左孩子置为NULL了
T = NULL;
else
{
T = (struct BiTNode *)malloc(sizeof(struct BiTNode)); //1.N
T->data = data;
CreatBitree(T->l_child); //左孩子为空，调用函数自动返回其父 2.L
CreatBitree(T->r_child);//接着访问右孩子 3.R
}
}3.PreOrder(T):先序遍历
void PreOrder(BiTree T)
{
//先序遍历
if(T)
{
printf("%c",T->data); //1.N
PreOrder(T->l_child); //2.L
PreOrder(T->r_child); //3.R
}
} 4.InOrder(T):中序遍历
void InOrder(BiTree T)
{
//中序遍历
if(T)
{
InOrder(T->l_child); //2.L
printf("%c",T->data); //1.N
InOrder(T->r_child); //3.R
}
}5.PostOrder(T):后序遍历
void PostOrder(BiTree T)
{
//后续遍历
if(T)
{
PostOrder(T->l_child); //2.L
PostOrder(T->r_child); //3.R
printf("%c",T->data); //1.N
}
}7.LevelBiTree(T)：层序遍历
void LevelBiTree(BiTree &T)
{
queue<BiTree> t; //创建一个队列
t.push(T); //先把头结点入队
while(!t.empty()) //如果队列不为空的话
{
if(t.front()->l_child!=NULL) //左结点入队
t.push(t.front()->l_child);
if(t.front()->r_child!=NULL) //右结点入队
t.push(t.front()->r_child);
printf("%d",t.front()->data); //输出N
t.pop(); //出队
}
}接下来我们可以算一下，不同遍历方式下，最开始那个图中的输出结果：
我们得先把图转化为第一行的ABD##EF#H##G##C##，这个转化需要我们自己做一遍先序遍历，遇到子树为空的置为#。
这个东西一定要会遍历，没有什么捷径，多做几个题~
二、由遍历序列构造二叉树
这一般是传统的ACM（大学生程序设计竞赛）里面二叉树的考题，如果感兴趣的话可以搜一下杭电1710这道题，试着做一下，题目要求给出二叉树的中序和前序，让你求后序。我之前做过一个最后让求层序镜像~稍微难一点点
任意给出一个序列（先序，后续，层序），加上中序，我们就可以把这颗树画出来了（理由不会考，记住就行）。首先，我们得认识到不同遍历结果反映的一些问题（拿上面的输出来讲）。
我们的先确定哪个是根，以及根的左子树有哪些，右子树有哪些。
1.确定根：通过前序或者后续确定
前序遍历：采用的是NLR，那么第一个元素肯定是根。上面第一个是A
后续遍历：采用的是LRN，那么肯定最后一个元素就是根了。上面最后一个是A
2.确定根的左子树和右子树有哪些：通过中序遍历确定
中序遍历：采用的是LNR，也就是如果我们知道谁是根节点的话，在中序遍历中，找到这个结点，其左边肯定是根结点的左子树了（DBFHEG），右边是右子树(C)。
3.我们把中序遍历确定的左子树（DBFHEG）摘出来，也在前序/后序中把这一部分摘出来。
在前序中，我们摘出来的结果是(BDEFHG），（中序划分出的那些内容，其在前序中肯定是连续的，不要打乱顺序摘出来)
在后续中，我们摘出来的结果是（DHFGEB），（中序划分出的那些内容，其在后序中肯定是连续的，不要打乱顺序摘出来)
摘出来以后，当做一个二叉树，重复执行1,2,3.
同理，我们可以把右子树做一样的操作。
三、线索化二叉树
1.不管是那一种遍历，某个结点的在输出序列中的前驱结点和后继结点是非常难求出来的。
2.我们发现在n个结点的二叉树里面，有n+1个空结点。
（空结点都是人造的，生了0个孩子的人有俩空结点，生了1个孩子的有1个，生了俩的没有，所以空结点个数为,而我们之前有一个重要的公式为：
,替换一个
,有；
）
3.我们是否可以利用这n+1个空结点， 把结点的前驱和后继存起来，这样找前驱和后继会很方便。
引入线索化二叉树的目的就是为了加快查找结点的前驱和后继
线索化二叉树时候，我们作这样的规定：如果一个结点没有左孩子时候，我们就让左孩子指向其前驱结点；如果一个结点没有右孩子时候，我们就让右孩子指向其后继结点。
BUT!,这么做完以后，你咋知道这个左孩子到底是真的左孩子还是前驱结点呢？这样有可能把自己叔叔看成自己孩子了~
因此，我们是不是需要有一个标记，告诉我们这个左孩子到底是前驱结点（叔叔）还是左孩子（儿子）~
我们引入ltag和rtag作一个标记，当ltag = 0时候，代表左孩子指的就是左孩子，当ltag = 1的时候，代表左孩子指的是前驱结点（叔叔）。rtag和ltag一样~
所以，线索话二叉树的结构体就变为：
typedef struct BiTNode
{
char data;
int ltag,rtag;
struct BiTNode *l_child,*r_child;
}BiTNode,*BiTree;线索化二叉树对代码一般不作要求（我们学校肯定不会考这个的代码）~但是我们一定得会给一个二叉树加线索，这就得非常熟悉这个二叉树的不同遍历方式的输出是什么了，这样我们才能知道前驱和后继，才能加线索~
如果你对代码感兴趣的话，可以看看下面这个代码（这是我当初学的时候写的，有些地方看起来不太好）~
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*线索二叉树及对二叉树进行双向链表化*/
typedef enum {Link,Thread}PointTag; //枚举，Link表示存在l_child,Thread表示不存在
typedef struct BiTNode
{
char data;
int ltag,rtag;
struct BiTNode *l_child,*r_child;
}BiTNode,*BiTree;
BiTree pre; //前一个节点
void Visit (BiTree P)
{
printf("%c\n",P->data);
}
int CreatBiTree(BiTree &T)
{
char data;
scanf("%c",&data);
if(data == '#')
T = NULL;
else
{
T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
T->data = data;
CreatBiTree(T->l_child);
if(T->l_child) //T节点如果有l_child,ltag标记为link
T->ltag = Link;
CreatBiTree(T->r_child);
T->rtag = Link;
}
return 0;
}
void InThreading(BiTree p) //前序遍历进行中序线索化
{
if(p)
{
printf("pre: %c\n",pre->data);
printf("p: %c\n",p->data);
if(p->ltag == Link)
InThreading(p->l_child);
printf("pre: %c\n",pre->data);
Visit(pre);
Visit(p);
if(!p->l_child) //如果P没左孩子
{
Visit(p);
p->l_child = pre;
Visit(p->l_child);
p->ltag = Thread;
}
if(!pre->r_child) //如果pre没左孩子
{
Visit(pre);
pre->r_child = p;
Visit(p);
pre->rtag = Thread;
}
pre = p;
if(p->rtag == Link)
InThreading(p->r_child);
}
}
void InOrderThreading(BiTree &H,BiTree T) //创建线索二叉树，以及头结点，对pre初始化
{
H = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); //头结点
H->r_child = H; //头节点右孩子指向自己
H->rtag = Link;
if(!T) //如果二叉树只有一片叶子，头结点左右孩子都指向自己
{
H->l_child = H;
H->ltag = Link;
}
else
{
pre = H; //上一个节点指向头结点
H->l_child = T; //当前节点为T
printf("pre: %c\n",pre->data);
H->ltag = Link;
InThreading(T); //前序遍历进行中序线索化
pre->r_child = H;
pre->rtag = Thread;
H->r_child = pre;
}
}
void InOrder(BiTree H)
{
BiTree P = H->l_child;
while(P != H)
{
Visit(P);
if(P->ltag == Link)
P = P->l_child;
else
P = P->r_child;
}
printf("\n");
}
void PreOrder(BiTree T)
{
if(T != NULL)
{
PreOrder(T->l_child);
Visit(T);
PreOrder(T->r_child);
}
}
int main()
{
BiTree T,H;
CreatBiTree(T);
printf("\n");
InOrderThreading(H,T);
InOrder(H);
return 0;
}
因为我们输出方式有前序、中序、后序。所以线索化也有前序线索二叉树、中序线索化二叉树、后序线索化二叉树。BUT，有没有看到，我们一般采用的是中序线索话，我们一般不用前序/后序线索化，因为这两个都有缺点：
前序线索化找不到前驱结点，后序线索化找不到后继结点：
就拿这个图来说，前序遍历结果是：ABDEFHGC
我们可以看到B的前驱是A，但是因为B有左孩子，所以就不能把B的左孩子置为他的前驱，所以B不能快速的找到前驱~
后序遍历结果是：DHFGEBCA,我们可以看到E的后继是B，但是E有右孩子，所以不能把E的右孩子置为他的后继，所以E不能快速的找到后继~
为什么前序线索化二叉树有些结点找不到其前驱？
因为前序输出下，一个结点X的前驱一定不是其左孩子或者右孩子（可能是父亲，也可能是长兄）（头结点除外），如果这时候，X有左孩子的话，他就找不到其前驱了
为什么前序线索化二叉结点就一定能找到后继？
因为前序输出下，输出顺序是NLR,所以一个结点X的后继一定在他的孩子里面，所以，如果其有孩子，那么后继肯定在孩子里面，如果其没有孩子，那么就会有右孩子的空链域让其指到后继。
后续线索化的局限性也是类似~