最长公共子序问题 ( LCS, Longest Commom Subsequence )

Common Subsequence

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题目描述

给定序列的子序列是将给定的序列的一些元素（可能没有）省去。给定一个序列X = <x1, x2, ..., xm>另一个序列Z = <z1, z2, ..., zk>是X的子序列存在一个X的指数的严格递增的序列<i1, i2, ..., ik>，对于所有的j = 1,2,...,k, xij = zj。例如，Z = <a, b, f, c>，是X = <a, b, c, f, b, c>的子序列，其索引序列<1, 2, 4, 6>。给定两个序列X和Y，问题是求出X和Y的最大公子序列的长度。

程序输入来自一个文本文件。文件中的每个数据集包含两个字符串，表示给定的序列。这些序列由任意数量的空格分隔。输入数据是正确的。对于每一组数据，每行打印最长度公共子序列的长度。

输入

输出

样例输入

abcfbc abfcab
programming contest 
abcd mnp

样例输出

4
2
0

   徐不可说：给定两个序列 X=<x1, x2, ..., xm>, Y<y1, y2, ..., yn>，求X和Y长度最长的公共子序列。(子序列中的字符不要求连续)这道题被称为最长公共子序问题，可以用动态规划解决。定义c[i, j]表示Xi和Yj的LCS的长度，可得如下公式：

以下为伪算法：

//
int n,m;
char s[max_n],t[max_m];
int dp[max_n+1][max_m+1];   //dp数组
void solve(){
    for(int i=0;i<m;i++)
    if(int j=0;j<m;j++){
        if(s[i]==s[j]){
        dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
        }else {
                dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
                }
        }
}
cout<<dp[n][m];

显而易见，这是一种记录结果再利用的“动态规划”方法。

本题的ac代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1000;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main() {
    while(scanf("%s%s",&a,&b)!=EOF) {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int lena=strlen(a);
        int lenb=strlen(b);
        for(int i=1; i<=lena; i++) {
            for(int j=1; j<=lenb; j++) {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
    }
    return 0;
}