二分匹配（相关知识+模板）

二分匹配的过程：

算法的核心是找增广路径的过程 --- DFS
对于每个可以与u匹配的顶点v，假如它未被匹配，可以直接用v与u匹配；
如果v已与顶点w匹配，那么只需调用dfs(w)来求证w是否可以与其它顶点匹配，如果dfs(w)返回1的话，仍可以使v与u匹配；如果dfs(w)返回0,则检查u的下一个邻接点。
在dfs时，要标记访问过的顶点（book[i] = 1），以防死循环和重复计算；每次在主过程中开始一次dfs前，所有的顶点都是未标记的。
主过程只需对每个X部的顶点调用dfs，如果返回一次1,就对最大匹配数加一；一个简单的循环就求出了最大匹配的数目。

相关定义：
1、最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
2、最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
3、最大独立集：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
4、最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
5、定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
6、定理2：最大独立集 = 顶点数 - 最小点覆盖数
7、定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

二分图的最大团
1、定义：对于一般图来说，团是一个顶点集合，且由该顶点集合诱导的子图是一个完全图，简单说，就是选出一些顶点，这些顶点两两之间都有边。最大团就是使得选出的这个顶点集合最大。对于二分图来说，我们默认为左边的所有点之间都有边，右边的所有顶点之间都有边。那么，实际上，我们是要在左边找到一个顶点子集X，在右边找到一个顶点子集Y，使得X中每个顶点和Y中每个顶点之间都有边。
2、方法：二分图的最大团=补图的最大独立集。
3、补图的定义是：对于二分图中左边一点x和右边一点y，若x和y之间有边，那么在补图中没有，否则有。
4、这个方法很好理解，因为最大独立集是两两不相邻，所以最大独立集的补图两两相邻。

模板：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int m,n,e[110][110],match[110],book[110];
int dfs(int u)
{
	int i;
	for(i = 1; i <= n; i ++)
	{
		if(book[i] == 0 && e[u][i] == 1)
		{
			book[i] = 1;
			if(match[i] == 1 || dfs(match[i]))
			{
				match[i] = u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	int i,x,y,sum;
	while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
	{
		sum = 0;
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(i = 1; i <= m; i ++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			e[x][y] = 1;
		}
		for(i = 1; i <= n; i ++)
		{
			memset(book,0,sizeof(book));
			if(dfs(i))
				sum ++;
		}
		printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
}