F - 棋盘分割

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差 ，其中平均值 ，x i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

题解：设dp[y1][x1][y2][x2][k]dp[y1][x1][y2][x2][k]表示切了k次后左上角坐标为(y1,x1)(y1,x1)，右下角坐标为(y2,x2)(y2,x2)的矩形当前∑ki=1x2i∑i=1kxi2的最小值。 
则有四种转移始状态，为当前矩形为从某（上/下/左/右）侧切一整块，另一侧为k−1k−1个分割完的块。 

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
using namespace std;
int ma[9][9];
int n;
int sum[9][9][9][9];
int dp[16][9][9][9][9];
void init()
{
    for(int x=0; x<8; x++)
        for(int y=0; y<8; y++)
            for(int xx=x; xx<8; xx++)
                for(int yy=y; yy<8; yy++)
                {
                    int ans=0;
                    for(int i=x; i<=xx; i++)
                        for(int j=y; j<=yy; j++)
                            ans+=ma[i][j];
                    sum[x][y][xx][yy]=ans*ans;
                }
}
int DP(int k,int x,int y,int xx,int yy)
{
    if(dp[k][x][y][xx][yy]>=0)
        return dp[k][x][y][xx][yy];
    if(k==n-1)
        return sum[x][y][xx][yy];
    int ans=0;
    dp[k][x][y][xx][yy]=1<<29;
    for(int i=x; i<xx; i++)
    {
        ans=min(DP(k+1,x,y,i,yy)+sum[i+1][y][xx][yy],DP(k+1,i+1,y,xx,yy)+sum[x][y][i][yy]);
        dp[k][x][y][xx][yy]=min(ans,dp[k][x][y][xx][yy]);
    }
    for(int i=y; i<=yy; i++)
    {
        ans=min(DP(k+1,x,y,xx,i)+sum[x][i+1][xx][yy],DP(k+1,x,i+1,xx,yy)+sum[x][y][xx][i]);
        dp[k][x][y][xx][yy]=min(ans,dp[k][x][y][xx][yy]);
    }
    return dp[k][x][y][xx][yy];
}
int main()
{
    double ans;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    for(int i=0; i<8; i++)
    {
        for(int j=0; j<8; j++)
        {
            scanf("%d",&ma[i][j]);
            cnt+=ma[i][j];
        }
    }
    init();
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    DP(0,0,0,7,7);
    ans=sqrt(dp[0][0][0][7][7]*1.0/n-(cnt*1.0)/n*(cnt*1.0)/n);
    printf("%.3f\n",ans);
    return 0;
}