棋盘分割（题解）

Description

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将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

请编程对给出的棋盘及n，求出 σ 的最小值

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Input
第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

Output

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仅一个数，为O’（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

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3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

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1.633

Solution

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首先我们观察题目所给我们的方差公式，发现是无法作为DP的值做DP的，我们对公式进行化简。
得到：

我们将$\sum x_i^2$作为DP值存起来。

处理好这些后问题就转化成一个比较简单的计数类矩阵DP了

转移方程：

一：横着切，当前矩形将会分成上下两份
1.选上面：$f[t-1][i][j][k][jj]+f[1][k+1][j][ii][jj]$
2.选下面：$f[t-1][k+1][j][ii][jj]+f[1][i][j][k][jj]$
二：竖着切，当前矩形将会分成左右两份
1.选左边：$f[t-1][i][j][ii][k]+f[1][i][k+1][ii][jj]$
2.选右边：$f[t-1][i][k+1][ii][jj]+f[1][i][j][ii][k]$

代码：

 //By Bibi
///                 .-~~~~~~~~~-._       _.-~~~~~~~~~-.
///             __.'              ~.   .~              `.__
///           .'//                  \./                  \\`.
///        .'//                     |                     \\`.
///       .'// .-~"""""""~~~~-._     |     _,-~~~~"""""""~-. \\`.
///     .'//.-"                 `-.  |  .-'                 "-.\\`.
///   .'//______.============-..   \ | /   ..-============.______\\`.
/// .'______________________________\|/______________________________`.
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int MAXN=20;
const int INF=2e9+7;
int read(){
    int sum=0,flag=1;
    char c;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-') flag=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())sum=(sum<<1)+(sum<<3)+c-'0';
    return sum*flag;
}
int n;
int f[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
int a[MAXN][MAXN],A[MAXN][MAXN];
int X;
int sum[MAXN][MAXN];
int Get(int a,int b,int c,int d){
    int t=sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1];
    return t*t;
}
void init(){
    n=read();
    rep(i,1,8) rep(j,1,8) a[i][j]=read(),A[i][j]=A[i][j-1]+a[i][j]; 
    rep(i,1,8) 
    rep(j,1,8){
        sum[i][j]+=sum[i-1][j]+A[i][j];
    }
    rep(i,1,8)
    rep(j,1,8)
    rep(k,i,8)
    rep(l,j,8){
        f[1][i][j][k][l]=Get(i,j,k,l);
    }
}
void DP(){
    rep(t,2,n)
    rep(i,1,8)
    rep(j,1,8)
    rep(ii,i,8)
    rep(jj,j,8){
        f[t][i][j][ii][jj]=INF;
        rep(k,i,ii-1){//横着切
             f[t][i][j][ii][jj]=min(f[t][i][j][ii][jj],min(f[t-1][i][j][k][jj]+f[1][k+1][j][ii][jj],f[t-1][k+1][j][ii][jj]+f[1][i][j][k][jj]));
        }
        rep(k,j,jj-1){//竖着切 
             f[t][i][j][ii][jj]=min(f[t][i][j][ii][jj],min(f[t-1][i][j][ii][k]+f[1][i][k+1][ii][jj],f[t-1][i][k+1][ii][jj]+f[1][i][j][ii][k]));
        }
    }
}
int main(){
    init();
    DP();
    double ans,X;
    X=1.0*sum[8][8];
    X=(X/n)*(X/n);
    ans=sqrt(1.0*f[n][1][1][8][8]/n-X);
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}