矩阵指数函数的计算方法

最近考要考代数，矩阵代数中会考到矩阵函数，其中将一个矩阵写成指数函数的形式在系统和控制理论中经常会用到，下面以一个具体的例子来解释，如何将可逆矩阵A写成其指数函数的形式。这种解法比较繁琐，但是能从更加基础的角度解释这个问题。

$A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1& 0 &3 \\ -1& -1 & 4 \end{bmatrix}$

求上图中矩阵的 $e^{At}$

解：

首先将矩阵A化为对角阵或者约当阵。

1. 计算特征值

$\left | \lambda I-A \right |=0$

得到

$\begin{vmatrix} \lambda +1 & 2-2\lambda &-6 \\ 1 & \lambda & -3\\ 1& 1 & \lambda -4 \end{vmatrix}=0$

初等变换

$\left | \lambda I-A \right |=\left ( \lambda -1 \right )^{3}$

可知，矩阵A的三个特征值均为1，由于矩阵相似对角化的条件是有n个不相关的特征向量，所以求特征值1的特征向量。

2. 求特征向量

$\left ( \lambda I-A \right )x=0$

得到

$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 6\\ -1&-1 &3 \\ -1&-1 &3 \end{pmatrix}x=0$

$x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0$

得到两个特征向量

$\alpha _{1}=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$ $\alpha _{2}=\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

因为1为三重根，这里只有两个不相关的特征向量，所以只能化为约当阵

$T^{-1}AT=\begin{pmatrix} 1 & 0&0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$

将T写成向量的形式

$T=\begin{pmatrix} \beta _{1}\\ \beta _{2}\\ \beta _{3} \end{pmatrix}$

则有

$A\begin{pmatrix} \beta _{1}\\ \beta _{2}\\ \beta _{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \beta _{1}\\ \beta _{2}+\beta _{3} \\ \beta _{3} \end{pmatrix}$

写成方程的形式

$A\beta _{1}=\beta _{1}$

$A\beta _{2}=\beta _{2}+\beta _{3}$

$A\beta _{3}=\beta _{3}$

这里的beta1和beta3为任意的特征向量，求beta2，假设

$\beta_{3}=k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}$

那么方程 $\left ( A-E \right )\beta _{2}=\beta _{3}$ 的增广矩阵如下：

$\begin{pmatrix} -2 &-2 &-6 &k_{1} \\ -1& -1 &3 &3k_{2}-k_{1} \\ -1&-1 &3 &k_{2} \end{pmatrix}$

为了使线性方程有解，这里使增广矩阵的第二行和第三行相等，取

$k_{1}=2 ,k_{2}=1$

带入方程后得

$\beta _{1}=\begin{pmatrix} 1& -1& 0 \end{pmatrix}$

$\beta _{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \end{pmatrix}$

$\beta _{3}=\begin{pmatrix} 2& 1& 1 \end{pmatrix}$

从而得到矩阵T,再对T求逆

$T=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 2& 1& 1 \end{pmatrix}$ $T^{-1}=\begin{pmatrix} 0& 1 & 0\\ -1& 1 & 0\\ 1& -3& 1 \end{pmatrix}$

$e^{At}=Te^{J_{i}t}T^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1& 0& 0\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{t} & 0 & 0\\ 0& e^{t} &te^{t} \\ 0& 0 & e^{t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 &0 \\ 1& -3 & 1 \end{pmatrix}$

最终得到

$e^{At}=\begin{pmatrix} e^{t}-te^{t} & 3te^{t} & -te^{t}\\ 0& e^{t} &0 \\ te^{t}& -3te^{t} & e^{t}+te^{t} \end{pmatrix}$

矩阵指数函数的计算方法

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