控制系统状态空间表达式的解(2)——计算矩阵指数函数的常用方法

方法一

根据矩阵指数函数的定义直接计算：
$e^{At}\overset{def}{=}I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}$

(用定义计算，很少用到8)

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方法二

将 $A$阵化为对角标准型或约当标准型求解

1. $A$的特征值不存在重根
若 $A$的特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$不存在重根，则在求出使 $A$阵实现对角化
$T^{-1}AT= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix}$
的变换阵 $T^{-1}$， $T$后，即有指数函数矩阵：
$e^{At}= T\begin{bmatrix} e^{\lambda_{1}t} & & & \\ & e^{\lambda_{2}t} & & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{\lambda_{n}t} \end{bmatrix}T^{-1}$
证明：
$由: T^{-1}AT= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} \qquad可得: A= T\begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1}$
而:
$\begin{aligned} e^{At}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} \left ( T \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1} \right )^{k} t^{k} \end{aligned}$

接下来，先考虑 $k=2$的情况：
$\begin{aligned} \left ( T \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1} \right )^{2} &= T\begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1} T\begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1}\\ &= T\begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix}^{2} T^{-1} \end{aligned}$
将结果带入上式中有
$\begin{aligned} e^{At}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} \left ( \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} T^{-1} \right )^{k} t^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} T \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{bmatrix} ^{k} T^{-1} t^{k} \end{aligned}$
而 $\frac{1}{k!}$和 $t^{k}$都是常数，将其乘到对角阵中去
$\begin{aligned} &=T \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda_{1}^{k}t^{k}& & & \\ & \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda_{2}^{k}t^{k}& & \\ & & \ddots & \\ & & & \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda_{n}^{k}t^{k} \end{bmatrix} T^{-1}\\ &=T \begin{bmatrix} e^{\lambda_{1}t}& & & \\ &e^{\lambda_{2}t} & & \\ & & \ddots & \\ & & &e^{\lambda_{k}t} \end{bmatrix} T^{-1}\\ \end{aligned}$
证毕

2. $A$的特征值存在重根时
暂时略

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方法三

拉氏变换法:
$e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$
证明:
由矩阵指数函数的定义：
$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}$
两边取拉氏变换:

根据:
$L(\frac{t^{k}}{k!})=\frac{1}{s^{k+1}}$

$\begin{aligned} L(e^{At})&=\frac{1}{s}I+\frac{1}{s^2}A+\frac{1}{s^3}A^2+...\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{s^{k+1}}A^{k}\\ &=s^{-1}\sum_{k=0}^{+\infty}(s^{-1}A)^k \end{aligned}$

根据：
$\begin{aligned} 1+x+x^2+...+x^k+...&=\sum_{k=0}^{+\infty}x^k\\ &=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} \end{aligned}$

有：
$\begin{aligned} L(e^{At})&=s^{-1}\sum_{k=0}^{+\infty}(s^{-1}A)^k\\ &=s^{-1}(I-s^{-1}A)^{-1}\\ &=(sI-A)^{-1} \end{aligned}$
两边取拉式反变换：
$e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$
证毕

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凯莱-哈米尔顿定理：

设 $A\in R^{x \times x}$，其特征多项式为:
$\begin{aligned} D(\lambda)&=|\lambda I-A|\\ &=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_{1}\lambda+a_{0}\\ &=0\\ \end{aligned}$
则矩阵A必须满足其特征多项式，即:
$A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A+a_0I=0$

证明略