由矩阵指数函数的定义:
eAt=defI+At+2!1A2t2+...=k=0∑∞k!1Aktk
可以得到以下一些基本性质:
-
x→0limeAt=I
- 令
t和
τ为两个时间变量,则必成立:
eA(t+τ)=eAteAτ=eAτeAt(可由数学归纳法证明)
- 矩阵指数函数的逆:
(eAt)−1=e−At证明:eAte−At=eA(t−t)=I
- 矩阵指数函数
eAt对t求导为
dtd(eAt)=AeAt=eAtA
证明:
dtd(eAt)=A+A2t+2!1A3t2+...+(k−1)!1Aktk−1=A(I+At+2!1A2t2+...(k−1)!1Ak−1tk−1)=AeAt=(I+At+2!1A2t2+...(k−1)!1Ak−1tk−1)A=eAtA(即矩阵A和矩阵指数函数eAt可交换)
- 设有n*n维常阵
A和
B,如果
A和
B是可交换的,即
AB=BA,则必成立:
e(A+B)t=eAteBt=eBteAt(可由数学归纳法证明)
- 矩阵指数函数的积:
(eAt)m=eA(mt)m=0,1,2,...(可由性质2证明)