复数矩阵相乘的扩展矩阵计算方法

Matlab是矩阵计算语言，其最基本的存储单位就是矩阵。在诸多信号处理领域，我们所涉及到的信号都是复数信号，那么matlab如何处理复数矩阵呢? 假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为复数矩阵，当我们运用matlab计算两个矩阵的乘积时（矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足矩阵相乘的维度条件），我们可以直接在命令窗口输入 $\boldsymbol{A}*\boldsymbol{B}$ 。

当然，我们也可以采用扩展矩阵的做法来计算复数矩阵的计算。首先是对矩阵进行拆分 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_R+j\boldsymbol{B}_M$ ，我们用实数矩阵表示 $\boldsymbol{B}$ ，如

\begin{aligned} (393) & B^{'} = (\begin{matrix} B_{R} \\ B_{M} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{B}'= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}_R}\\ {\boldsymbol{B}_M} \end{array}} \right) \end{align}$
另外

\begin{aligned} (394) & A^{'} = (\begin{matrix} A_{R} & - A_{M} \\ A_{M} & A_{R} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{A}'=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}_R} & -\boldsymbol{A}_M\\ {\boldsymbol{A}_M} & \boldsymbol{A}_R \end{array}} \right) \end{align}$
则有

\begin{aligned} (395) & A^{'} * B^{'} = (\begin{matrix} A_{R} & - A_{M} \\ A_{M} & A_{R} \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{R} \\ B_{M} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{R} B_{R} - A_{M} B_{M} \\ A_{M} B_{R} + A_{R} B_{M} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{A}'*\boldsymbol{B}'=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}_R} & -\boldsymbol{A}_M\\ {\boldsymbol{A}_M} & \boldsymbol{A}_R \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}_R}\\ {\boldsymbol{B}_M} \end{array}} \right) =\left({ \begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}_R}\boldsymbol{B}_R-\boldsymbol{A}_M\boldsymbol{B}_M\\ \boldsymbol{A}_M\boldsymbol{B}_R+\boldsymbol{A}_R\boldsymbol{B}_M \end{array} }\right) \end{align}$
最后，我们用

A^{'} * B^{'}

$\boldsymbol{A}'*\boldsymbol{B}'$ 的计算结果来表示

C

$\boldsymbol{C}$ ，即

C = A_{R} B_{R} - A_{M} B_{M} + j (A_{M} B_{R} + A_{R} B_{M})

$\boldsymbol{C}={\boldsymbol{A}_R}\boldsymbol{B}_R-\boldsymbol{A}_M\boldsymbol{B}_M+j(\boldsymbol{A}_M\boldsymbol{B}_R+\boldsymbol{A}_R\boldsymbol{B}_M)$

复数矩阵相乘的扩展矩阵计算方法

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