运用矩阵树定理进行生成树计数

给定一个n个点m条边的无向图，问生成树有多少种可能

直接套用矩阵树定理计算即可

矩阵树定理的描述如下：

首先读入无向图的邻接矩阵，u-v G[u][v]++ G[v][u]++

度数矩阵： u-v D[u][u]++ D[v][v]++;

然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G

接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列（必须都是i,i取任意值）

计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数

然后对于有向图来说：

边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v]++（有向图的度数矩阵指的是入度而不是出度）

这样根据上述步骤计算得来的是树形图的个数

在计算行列式的时候：

先用高斯消元消成上三角矩阵，再把对角线乘起来

（与乘法逆元相关的以后再展开）

下面介绍实现：

const int maxn=15;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
double a[maxn][maxn];
int T,n,m;

B是邻接矩阵，A是度数矩阵

a是基尔霍夫矩阵

我们在读入了n之后n--的目的是直接排除最后一行和最后一列将其变成余子式（是叫这个嘛？？）

然后是计算行列式：

void gauss()
{
    int now=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=now;
        while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;
        if(j==n+1) {puts("0");return;}
        for(int k=1;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);
        for(int j=now+1;j<=n;j++)
        {
            double t=a[j][now]/a[now][now];
            for(int k=1;k<=n;k++)
                a[j][k]-=t*a[now][k];
        }
        now++;
    }
    double ans=1;
    if(n&1) ans=-ans;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans*=a[i][i];
    printf("%.0lf\n",abs(ans));
}

这里的高斯消元是消成上三角矩阵，然后就方便计算det了

完整的实现如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #define eps 1e-8
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=15;
 8 int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
 9 double a[maxn][maxn];
10 int T,n,m;
11 int read()
12 {
13     int x=0,f=1;char ch=getchar();
14     while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
15     while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
16     return x*f;
17 }
18 void gauss()
19 {
20     int now=1;
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22     {
23         int j=now;
24         while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;
25         if(j==n+1) {puts("0");return;}
26         for(int k=1;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);
27         for(int j=now+1;j<=n;j++)
28         {
29             double t=a[j][now]/a[now][now];
30             for(int k=1;k<=n;k++)
31                 a[j][k]-=t*a[now][k];
32         }
33         now++;
34     }
35     double ans=1;
36     if(n&1) ans=-ans;
37     for(int i=1;i<=n;i++) ans*=a[i][i];
38     printf("%.0lf\n",abs(ans));
39 }
40 int main()
41 {
42     T=read();
43     while(T--)
44     {
45         memset(A,0,sizeof(A));
46         memset(B,0,sizeof(B));
47         n=read();m=read();
48         n--;
49         for(int i=1;i<=m;i++)
50         {
51             int u=read(),v=read();
52             u--;v--;
53             A[u][u]++;A[v][v]++;
54             B[u][v]++;B[v][u]++;
55         }
56         for(int i=1;i<=n;i++)
57         {
58             for(int j=1;j<=n;j++)
59                 a[i][j]=A[i][j]-B[i][j];
60         }
61         gauss();
62     }
63     return 0;
64 }

运用矩阵树定理进行生成树计数

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