【模板】矩阵树定理

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参考题目：SPOJ HIGH

对了有一道假题目

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解析：

先明确几个定义。

对于一个图 $G$，定义其度数矩阵为 $D[G]$，为一个 $n*n$的矩阵，满足当 $i!=j$的时候， $d_{i,j}=0$，而大对角线上的元素 $d_{i,i}$值为节点 $v_i$的度数。

对于一个图 $G$，定义其邻接矩阵为 $A[G]$，为一个 $n*n$的矩阵，满足元素 $a_{i,j}$等于 $v_i,v_j$之间直接连接的边数，也称为接数。

对于一个图 $G$，定义其 $Kirchoff$矩阵( $C[G]$)如下，为一个 $n*n$的矩阵，满足对于 $\forall i,j$ $c_{i,j}=d_{i,j}-a_{i,j}$。

$Kirchoff\text{ }Matrix-Tree$定理内容描述如下。

对于一个图 $G$，其生成树个数等于 $det(C[G])$。其中 $det$表示该矩阵行列式的值。

证明是个很妙妙的东西。
然而太长了不想写

那就主要讲一讲怎么 $O(n^3)$求一个矩阵的行列式吧。

首先行列式的定义要补充一下。

一个 $n*n$方阵 $A$的行列式记为 $det(A)$或 $|A|$。

把一个元素 $a_{i,j}$所在行列划去后（不是置为0，而是整行整列消去），剩余的矩阵的行列式称为元素 $a_{i,j}$的余子式，记作 $M_{i,j}$，而 $A_{i,j}=(-1)^{j+i}M_{i,j}$称作 $a_{i,j}$的代数余子式，而行列式的值定义如下 $det(A)=\sum a_{i,j}(-1)^{i+j}det(A_{i,j})$

好的上面这个完全不说人话的表述方式你看懂了吗？

接下来是一个稍微说人话一点的表述方式。

以一个 $4*4$的方阵为例。
就是这个矩阵中 绿色的数之积+蓝色数之积+橙色数之积+红色数之积，

上面的结果减去这个矩阵中 绿色的数之积+蓝色数之积+橙色数之积+红色数之积，

上面的差的绝对值就是矩阵行列式的值。

其他大小的矩阵行列式以此类推。

于是行列式就有一些奇奇怪怪的性质。
比如一行（列），加上或减去另一行（列）每个元素的相同倍数，行列式的值不变。（证明可能什么时候才会补吧）

那么我们就可以利用高斯消元将当前矩阵消成一个上三角矩阵，那么就可以轻易求出行列式的值了。

其行列式的值就变成了对角线上的所有值之积。
证明很简单，因为这时候其他地方的积的式子中都含有至少一个元素为0，那么有贡献的就只剩下这条大对角线了。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline
int getint(){
	re int num=0;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));
	while(isdigit(c))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48),c=gc();
	return num;
}

double a[13][13];

inline
double gauss(int n){
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		int pos=i;
		for(int re j=i+1;j<=n;++j){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[pos][i]))pos=j;
		}
		if(fabs(a[pos][i])<=1e-6)return 0;
		if(pos!=i)swap(a[pos],a[i]);
		for(int re j=i+1;j<=n;++j){
			double tmp=a[j][i]/a[i][i];
			for(int re k=1;k<=n;++k){
				a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
			}
		}
	}
	double ret=1;
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		ret*=a[i][i];
	}
	return fabs(ret);
}

signed main(){
	int T=getint();
	while(T--){
		int n=getint(),m=getint();
		memset(a,0,sizeof a);
		while(m--){
			int u=getint(),v=getint();
			a[u][u]+=1,a[v][v]+=1;
			a[u][v]-=1,a[v][u]-=1;
		}
		printf("%.0lf\n",gauss(n-1));
	}
	return 0;
}