定理一
连通的无向图有欧拉路径的充要条件是：
G中奇顶点（连接的边数量为奇数的顶点）的数目等于0或者2。
连通的无向图是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是：
G中每个顶点的度都是偶数。
定理二
如果连通无向图G 有 2k 个奇顶点，那么它可以用 k 笔画成，并且至少要用 k 笔画成
对有向图来说，一笔画不仅指遍历所有边，而且要遵循正确的方向。
严谨地说，一个连通有向图G有欧拉路径，指存在一个顶点，从它出发，沿着有向边的方向，可以不重复地遍历图中所有的边。
有向图的欧拉回路则是指可以从某一顶点开始，沿有向边的方向不重复地遍历所有边，然后回到原来出发的顶点。用类似于定理一中证明的思路，可以得到有向图一笔画的判定准则：
一个连通的有向图可以表示为一条从顶点u到v的（不闭合的）欧拉路径的充要条件是：
u的出度（从这个顶点发出的有向边的数量）比入度（指向这个顶点的有向边的数量）多1， v 的出度比入度少1，而其它顶点的出度和入度都相等。
一个连通的有向图是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是以下两个之一：
1.每个顶点的出度和入度都相等；
2.存在一系列的（有向）环C1 C2… Cm，使得图G里的每一条边都恰好属于某一个环。